Математическа икономика - Колемаев В.А. Лекции - математическа икономика - file mat Economics lectures.doc Лекции по математическа икономика

Математическата икономика е теоретична и приложна наука, чийто предмет са математическите модели на икономическите обекти и процеси и методите за тяхното изследване.

Възникването на математическите науки несъмнено е свързано с нуждите на икономиката. Необходимо беше например да се разбере колко земя да се засее със зърно, за да се изхрани семейството, как да се измери засетото поле и да се оцени бъдещата реколта.

С развитието на производството и неговото усложняване нарастват и нуждите на икономиката от математически изчисления. Съвременното производство е строго балансирана работа на много предприятия, която се осигурява от решаването на огромен брой математически задачи. Тази работа е заета от огромна армия от икономисти, плановици и счетоводители, а изчисленията се извършват от хиляди електронни компютри. Сред тези задачи са и изчисляването на производствените планове, и определянето на най-изгодното местоположение на строителните площадки, и изборът на най-икономичните транспортни маршрути и др. Математическата икономика също се занимава с формализирано математическо описание на вече известни икономически явления, тествайки различни хипотези за икономически системи, описани от определени математически зависимости.

Нека разгледаме два прости примера, демонстриращи използването на математически модели за тази цел.

Нека търсенето и предлагането на стоки зависи от цената. За равновесие пазарната цена трябва да е такава, че продуктът да е разпродаден и да няма излишък:

. (1)

Но ако, например, предложението закъснява с един интервал от време, тогава, както е показано на фиг. 1 (където кривите на търсенето и предлагането са показани като функции на цената), при цена търсенето надвишава предлагането. И тъй като предлагането е по-малко от търсенето, цената се повишава и стоките се изкупуват на цена от . При тази цена предлагането нараства до ; сега предлагането е по-голямо от търсенето и производителите са принудени да продават стоките на цена, след което предлагането пада и процесът се повтаря. Резултатът е прост модел на бизнес цикъл. Постепенно пазарът влиза в баланс: търсенето, цената и предлагането се установяват на ниво.

Ориз. 1 съответства на решението на уравнение (1) по метода на последователните приближения, което определя корена на това уравнение, т.е. равновесна цена и съответната стойност на търсенето и предлагането.

Помислете за по-сложен пример - "златното правило" на натрупването. Стойността на продукцията на предприятието (в рубли) на крайни продукти в даден момент се определя от разходите за труд, чиято производителност зависи от съотношението на степента на насищане на оборудването му към разходите за труд. Математическата нотация за това е:

. (2)

Крайният продукт се разпределя към потреблението и натрупването на оборудване. Ако означим дела от продукцията, който отива за натрупване през , тогава

В икономиката се нарича норма на натрупване. Стойността му е между нула и едно.

За единица време обемът на оборудването се променя с количеството натрупване

. (4)

При балансиран растеж на икономиката всички нейни компоненти растат с еднакъв темп на растеж. Според формулата сложна лихваполучаваме:

, , , .

Ако въведем стойности, които характеризират потреблението, обема на оборудването и продукцията на служител, тогава системата от отношения (2) - (4) ще влезе в системата

, , . (5)

Второто от тези съотношения, при дадени темпове на растеж и потребление, ще определи съотношението капитал-труд като точка на пресичане на кривата и правата линия на фиг. 2. Тези линии определено ще се пресичат, тъй като функцията, макар и монотонно, расте, което означава увеличение на продукцията с увеличаване на работната сила, но по-плавно, т.е. това е вдлъбната функция. Последното обстоятелство отразява факта, че допълнителното увеличение на оборудването на работник, поради увеличаване на натоварването му, става все по-малко ефективно („законът за намаляващата полезност“). Семейството от криви съответства на различни стойности на степента на натрупване. Дължината на сегмента, както следва от формула (5), е равна на потреблението. В (точка на фиг. 2) изобщо няма потребление - цялото производство отива за натрупване на оборудване. Нека сега намалим скоростта на натрупване. Тогава потреблението (дължина) вече ще бъде различно от нула, въпреки че темпът на растеж на икономиката (наклонът на правата) остава същият. В точката с ордината, за която допирателната към кривата е успоредна на правата, консумацията е максимална. Тя съответства на фамилна крива с определен процент на натрупване, наречен "златен процент на натрупване".

ЛЕОНИД ВИТАЛИЕВИЧ КАНТОРОВИЧ
(1912-1986)

Л. В. Канторович - съветски математик и икономист, създател на линейното програмиране и теорията за оптимално планиране на социалистическата икономика, академик, носител на Нобелова награда.

Л. В. Канторович е роден в Санкт Петербург, в семейството на лекар. Неговите способности се проявяват необичайно рано. Вече на 4 гола той свободно оперира с многоцифрени числа, на седемгодишна възраст усвоява курс по химия според учебника на по-големия си брат. На 14-годишна възраст става студент в Петербургския университет. По времето, когато завършва университета през 1930 г., Л. В. Канторович вече е известен учен, автор на дузина статии, публикувани във водещи международни математически списания, а на 20-годишна възраст е професор по математика.

През 1935 г. ученият въвежда и изучава клас функционални пространства, в които е дефинирано отношение на ред за определен набор от техните елементи. Теорията на такива пространства, те се наричат пространства на Канторович или -пространства, е един от основните раздели на функционалния анализ. Последната работа, свързана с решаването на проблема с континуума, определи мястото на -пространствата сред най-фундаменталните математически структури.

Л. В. Канторович се отличаваше с невероятната си способност да види същността на проблема в конкретен проблем и, след като създаде теория, да даде общ метод за решаване на широк клас подобни проблеми. Това се разкрива особено ясно в неговите трудове по изчислителна математика и математическа икономика.

В началото на 30-те години. Л. В. Канторович е един от първите видни учени, които се интересуват от изчислителната математика. Съвременният облик на тази наука до голяма степен се определя от неговите трудове. Сред тях са фундаменталната и класическа монография "Приблизителни методи на висшия анализ"; изчислителни методи, носещи неговото име; обща теорияприблизителни методи, изградени на базата на функционален анализ (Държавна награда, 1949 г.); работи върху автоматичното програмиране, извършено в зората на компютърната ера и предугаждайки много съвременни идеи, и накрая, редица изобретения в областта на компютърните технологии.

През 1939 г. в Ленинград е публикувана малка брошура „Математически методи на организация и планиране на производството“, която всъщност съдържа нов раздел от приложната математика, по-късно наречен линейно програмиране (виж Геометрия). Поводът за написването му беше конкретна производствена задача. Осъзнавайки ключовото значение на концепциите за вариация и оптималност в социалистическата икономика, такива важни показатели като цена, наем, ефективност, той продължава да развива теорията за оптималното планиране, която по-късно получава Ленин (1965) и Нобел (1975) награди.

Книгата "Икономическо изчисление на най-доброто използване на ресурсите", излагаща тази теория, е написана в условията на блокадата на Ленинград и е завършена още през 1942 г.

Разбирайки изключителното значение на тези изследвания, ученият упорито преследва практическото използване на техните резултати. Работата обаче не е публикувана до 1959 г. и дори тогава е атакувана от ортодоксалните политически икономисти. Книгата на Л. В. Канторович формира възгледите на цяло поколение съветски икономисти. Много от идеите, изразени за първи път там, се осъществяват в хода на перестройката.

След олимпиадата е интересно да се обсъжда решаването на задачи.

Труден проблем в математическата икономика е сравнението на теорията и практиката: изключително трудно е да се измери икономическите показатели - те не се измерват в лабораторни условия, наблюденията могат да се правят изключително рядко (помнете преброяванията!), те се извършват в различни условия и съдържа много неточности. Ето защо тук е трудно да се използва опитът с измерванията, натрупан в други науки, и е необходимо разработването на специални методи.

Развитието на математическата икономика предизвика появата на много математически теории, обединени от името "математическо програмиране" (за линейното програмиране вижте статията "Геометрия").

Въпросите за приложението на математическите методи в икономиката са разработени в трудовете на съветския математик Л. В. Канторович, удостоен с Ленин и Нобелова награда.

Нека разгледаме два прости примера, демонстриращи използването на математически модели за тази цел.

Нека търсенето S и предлагането D на продукта зависят от цената P. За равновесие пазарната цена трябва да бъде такава (P *), че продуктът да е разпродаден и да няма излишък:

D(P*) = S(P*). (един)

Но ако, например, предложението закъснява с един интервал от време, тогава, както е показано на фиг. 1 (където кривите на търсене и предлагане са показани като функции на цената), при цена P 0 търсенето S 0 превишава предлагането D 0 . И тъй като предлагането е по-малко от търсенето, цената се повишава и стоките се изкупуват на цена P 1 > P 0 . При тази цена предлагането се увеличава до стойността на S 1 ; сега предлагането е по-високо от търсенето и производителите са принудени да продават стоки на цена P 2< Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S * , P * , D * .

Ориз. 1 съответства на решението на уравнение (1) по метода на последователните приближения, което определя корена на това уравнение, т.е. равновесна цена P * и съответната стойност на търсенето и предлагането S * , D * .

Помислете за по-сложен пример - "златното правило" на натрупването. Количеството на продукцията от предприятието (в рубли) на крайните продукти Y t в момент t се определя от разходите за труд L t, чиято производителност зависи от съотношението на степента на насищане на неговото оборудване K t към разходите за труд. Математическата нотация за това е:

Y t = f(K t /L t)L t. (2)

Крайният продукт се разпределя към потреблението C t и натрупването на оборудване. Ако означим дела от продукцията, който отива за натрупване чрез s, тогава

C t = (l - s) Y t. (3)

В икономиката s се нарича норма на натрупване. Стойността му е между нула и едно.

За единица време обемът на оборудването се променя с количеството натрупване

K t+1 - K t = sY t. (4)

При балансиран растеж на икономиката всички нейни компоненти растат с еднакъв темп на растеж λ. Използвайки формулата за сложна лихва, получаваме:

Y t = (1+λ) t Y, L t = (1+λ) t L, K t = (1+λ) t K, C t = (1+λ) t C.

Ако въведем количества, които характеризират потреблението c = C/L, обемът на оборудването R = K/L и продукцията y = Y/L на работник, тогава системата от отношения (2)-(4) ще влезе в системата

y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (пет)

Второто от тези отношения, като се има предвид темпът на растеж λ и потреблението s, ще определи съотношението капитал-труд R като пресечна точка на кривата y = sf(R) и правата линия y = λR на фиг. 2. Тези линии определено ще се пресичат, тъй като функцията f(R), макар и монотонно, расте, което означава увеличение на продукцията с увеличаване на работната сила R, но все по-плавно, т.е. това е вдлъбната функция. Последното обстоятелство отразява факта, че допълнителното увеличение на оборудването на работник, поради нарастването на неговото натоварване, става все по-малко ефективно („законът за намаляващата полезност“). Семейството от криви y = sf(R) съответства на различни стойности на степента на натрупване S. Дължината f(R) - sf(R) на сегмент AB, както следва от формула (5), е равна на потреблението c. При s = 1 (точка A 0 на фиг. 2) изобщо няма потребление - цялото производство отива за натрупване на оборудване. Нека сега намалим скоростта на натрупване s. Тогава потреблението c (дължина AB) вече ще бъде различно от нула, въпреки че темпът на растеж λ на икономиката (наклонът на правата OB) остава същият. В точката с ордината R * , за която допирателната към кривата y = f(R) е успоредна на правата y = λR, консумацията с * е максимална. Тя съответства на кривата на семейството y = s * f (R) с определен процент на натрупване s *, наречен „златен процент на натрупване“.

Труден проблем в математическата икономика е сравнението на теорията и практиката: изключително трудно е да се измерват икономически показатели - те не се измерват в лабораторни условия, наблюденията могат да се извършват изключително рядко (помнете преброяванията!), Те се извършват в различни условия и съдържат много неточности. Ето защо тук е трудно да се използва опитът с измерванията, натрупан в други науки, и е необходимо разработването на специални методи.

Предмет и методи икономическа теория

Икономическите отношения проникват във всички сфери на човешкия живот. Изследването на техните модели е занимавало умовете на философите в древността. постепенно развитие селско стопанство, появата на частната собственост допринесе за усложнението икономически отношенияи изграждането на първите икономически системи. Научно-техническият прогрес, който обуславя прехода от ръчен към машинен труд, даде силен тласък на уедряването на производството, а оттам и на разширяването на икономическите връзки и структури. AT модерен святИкономиката все повече се разглежда във връзка с други свързани социални науки. А именно, на кръстовището на двете посоки има различни решения, които могат да бъдат приложени на практика.

Самата фундаментална тенденция към икономиката се оформя едва към средата на деветнадесети век, въпреки че учените в много страни през вековете създават специални школи, които изучават моделите на икономическия живот на хората. Едва по това време, в допълнение към качествената оценка на случващото се, учените започнаха да изследват и сравняват действителните събития в икономиката. Развитието на класическата икономика допринесе за формирането на приложни дисциплини, които изучават по-тесни области на икономическите системи.

Основният предмет на изучаване на икономическата теория е търсенето на оптимални решения за икономики от различни нива на организация по отношение на задоволяване на нарастващото търсене при ограничени ресурси. Икономистите използват различни методи в своите изследвания. Сред тях най-често използваните са следните:

Методи, които ви позволяват да оцените елементите на общото или да обобщите отделни структури. Те се наричат методи за анализ и синтез.
Индукцията и дедукцията позволяват да се разгледа динамиката на процесите от частното към общото и обратно.
Системният подход помага да се види отделен елемент на икономиката като структура и да се анализира.
В практиката широко се използва методът на абстракция. Тя ви позволява да отделите изследвания обект или явление от неговите връзки и външни фактори.
Както и в други науки, в икономиката често се използва езикът на математиката, който помага да се визуализират изучаваните елементи на икономиката, както и да се анализира или формира необходимата прогноза за тенденциите.

Същност на математическата икономика

Съвременната икономика се отличава със сложността на системите, които изучава. По правило един икономически агент влиза в много взаимоотношения едновременно и всеки ден. Ако говорим за предприятие, тогава броят на неговите вътрешни и външни взаимодействия се увеличава хиляди пъти. За да се улеснят изследователските и аналитичните задачи, пред които са изправени икономистите и учените, се използва езикът на математиката. Развитието на математически инструменти позволява решаването на проблеми, които са извън силата на другите методи, използвани в икономическата теория.

Математическата икономика е приложна област на икономическата теория. Основната му същност се състои в прилагането на математически методи, средства и инструменти за описание, изследване и анализ на икономически системи. Тази дисциплина обаче има своите специфики. Той не изучава икономическите явления като такива, а се занимава с изчисления, свързани с математически модели.

Забележка 1

Целта на математическата икономика, подобно на повечето приложни области, може да се нарече формирането на обективна информация и търсенето на решения на практически проблеми. Той изучава преди всичко количествени, качествени показатели, както и поведението на икономическите агенти в динамика.

Предизвикателствата пред математическата икономика са следните:

Изграждане на математически модели, описващи процеси и явления в икономическите системи.
Изследване на поведението на различни субекти на икономическите отношения.
Осъществяване на помощ при изграждане и оценка на планове, прогнози, различни видове събития в динамика.
Извършване на анализ на математически и статистически стойности.

Приложна математика в икономиката

Математическата икономика по своята социална значимост е достатъчно близка до математиката. Ако разгледаме тази дисциплина от страна на математическата наука, тогава за нея това е приложна посока. Приложната математика дава възможност да се разглеждат и анализират отделни елементи на най-сложните икономически системи, тъй като има широка функционалност, базирана на фундаментални математически знания. Такива възможности на математиката допринесоха за появата на математическата екология, социологията, лингвистиката и финансовата математика.

Помислете за най-важните математически методи, използвани в изследването на икономическите системи:

Оперативните изследвания се занимават с изучаване на процеси и явления в системите. Това включва аналитична работа и оптимизиране на практическото приложение на получените резултати.
Математическото моделиране включва широк набор от методи и инструменти, които правят възможно решаването на проблеми, пред които са изправени учените и икономистите. Най-често използваните са теорията на игрите, теорията на услугите, теорията за графика и теорията за инвентара.
Оптимизацията в математиката се занимава с търсенето на екстремни стойности, както максимални, така и минимални. За тези цели обикновено се използват функционални графики.

Изброените по-горе математически методи позволяват да се изследват статистически ситуации в икономиката или процеси в краткосрочни периоди. Както знаете, в момента основната цел икономически субектие да се намери дългосрочен баланс. Важен в тези изследвания е факторът време, който може да се вземе предвид чрез прилагане на теорията на вероятностите за изчисления, теорията на оптималното решение.

Забележка 2

Така математиката и икономиката са тясно свързани помежду си. Обичайно е динамиката на икономическите структури да се облича в математически модели, които след това да се разделят на отделни подзадачи и да се прилагат всички възможни методи за икономически анализ, както и математически изчисления. Вземането на решения в икономическата сфера е доста сложно действие, тъй като е свързано с несъвършенството и непълнотата на наличната информация. Използването на математическо моделиране позволява да се намали рискът на управленските решения.

Основната цел на икономиката- осигуряване на обществото с потребителски стоки. В икономиката има стабилни количествени модели, така че е възможно тяхното формализирано математическо описание.

Предмет изучаване на дисциплината - икономика и нейните дялове.

Вещ - математически модели на икономически обекти.

Метод - системен анализ на икономиката като сложна динамична система.

Модел - това е обект, който замества оригинала, отразява най-важните характеристики и свойства на оригинала за това изследване.

Модел, който е набор от математически зависимости, се нарича математически.

СИМУЛАЦИОННИ ЕЛЕМЕНТИ

Система е набор от взаимосвързани елементи, които съвместно реализират определени цели.

Суперсистема - средата около системата, в която системата работи.

Подсистема - подмножество от елементи, които изпълняват цели, съответстващи на целите на системата (една подсистема може да реализира част от целите на системата).

Икономическата система: разпределя ресурси, произвежда стоки, разпределя стоки и натрупва.

Суперсистема на националната икономика- природа, световна икономикаи обществото.

Основните подсистеми на икономиката- производствени и финансово-кредитни.

ОСОБЕНОСТИ НА ИКОНОМИКАТА КАТО ОБЕКТ НА МОДЕЛИРАНЕ

В икономиката модели, подобни на техническите, са невъзможни, т.к невъзможно е да се изгради точно копие на икономиката и върху това копие да се разработят варианти за икономическа политика.

Експериментирането е ограничено в икономиката, тъй като всички нейни части са тясно свързани помежду си.

Преките експерименти с икономиката имат както положителни, така и отрицателни страни.

Положителна страна- краткосрочните резултати от провежданата икономическа политика са видими веднага.

Отрицателна страна- невъзможно е директно да се предвидят средносрочните и дългосрочните последици от взетите решения.

Следователно, за да се разработят правилни икономически решения, е необходимо да се вземе предвид както целият минал опит, така и резултатите, получени при изчисления с помощта на математически модели, които са адекватни на дадената икономическа ситуация.

Разработването на математически модели е трудоемко, но много обещаващо. Така моделът на Кейнс, който отразява способността на пазарната икономика да се адаптира към смущаващи влияния, е изграден под впечатлението от кризата от 1929-1933 г. Въпреки това прилагането на този модел за преодоляване на следвоенната криза в Германия и Япония беше много успешно и беше наречено "икономическото чудо".

НЕКА РАЗГЛЕЖДАМЕ СТРУКТУРАТА НА ИКОНОМИКАТА КАТО ОБЕКТ НА МАТЕМАТИЧЕСКО МОДЕЛИРАНЕ

Икономиката е сложна система, състояща се от производствени и непроизводствени (финансови) клетки (икономически единици), които са в производствени, технологични и (или) организационни и икономически отношения помежду си.

Във връзка с икономическата система всеки член на обществото играе двойна роля: от една страна, като потребител, а от друга, като работник.

В допълнение към труда, материалните ресурси са Природни ресурсии средства за производство

Всички отрасли на материалното производство създават бруто вътрешен продукт(БРУТЕН ВЪТРЕШЕН ПРОДУКТ).

AT естествено-истинскиформа на БВП - това са средствата на труда и стоките за потребление,

В стойностна форма - фондът за обезщетение за изваждането от употреба дълготрайни активи (амортизационен фонд) и новосъздадената стойност (национален доход).

В процеса на създаване на БВП се произвежда и повторно потребява междинен продукт.

от материаленСъставът на междинния продукт са предметите на труда, използвани за текущо производствено потребление, чиято стойност се пренася изцяло върху стойността на средствата на труда или стоките, включени в БВП.

ИЗПОЛЗВАНЕТО НА МАТЕМАТИКАТА В ИКОНОМИКАТА ПОЗВОЛЯВА:

1. подчертават и формално описват най-важните връзки на икономическите променливи и обекти;

2. придобиват нови знания за обекта;

3. оценява вида на зависимостите на факторите и параметрите на променливите, прави изводи.

КАКВО Е ИКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛ?

Това е опростено формално описание на икономическите явления.

Математическият модел на икономически обект е неговото представяне под формата на набор от уравнения, неравенства, логически отношения, графики.

Моделите позволяват да се идентифицират характеристиките на функционирането на икономически обект и на тази основа да се предвиди поведението на обекта в бъдеще, когато параметрите се променят.

ЕТАПИ НА ИЗГРАЖДАНЕ НА МОДЕЛА:

1. формулирани са предметът и целите на изследването;

2. в икономическата система се разграничават структурни или функционални елементи, съответстващи на тази цел;

3. разкриват се най-важните качествени характеристики на тези елементи;

4. устно, качествено описва връзката между елементите;

5. въвеждат се символни означения за характеристиките на икономически обект и се формулират връзките между тях;

6. извършват се изчисления по модела и се анализират получените резултати;

СТРУКТУРА НА МОДЕЛА:

За да се изгради модел, е необходимо да се дефинират екзогенни и ендогенни променливи и параметри.

екзогенни променливи– са зададени извън модела, т.е. известен към момента на изчислението.

ендогенни променливи– се определят в хода на изчисленията по модела.

Параметри са коефициентите на уравненията.

КЛАСОВЕ ИКОНОМИЧЕСКИ И МАТЕМАТИЧЕСКИ МОДЕЛИ

Икономическите и математическите модели се разделят на следните класове:

1. По ниво на обобщение

а. Макроикономически - описват икономиката като цяло, свързват агрегирани показатели: БВП, потребление, инвестиции, заетост. Макромоделите отразяват функционирането и развитието на цялата икономическа система или нейните доста големи подсистеми. В макромоделите икономическите клетки се считат за неделими.

b. Микроикономически - описват взаимодействието на структурните и функционалните компоненти на икономиката. Микромодели - функциониране на икономически единици и техните обединения. В микромоделите една икономическа единица може да се разглежда като сложна система.

2. По ниво на абстракция

а. Теоретични - позволяват ви да изучавате общите свойства на икономиката, като извеждате от формални предпоставки. Използва се за изследване на общите свойства на икономиката и нейните елементи (модели на търсене и предлагане)

b. Приложени - позволяват да се оценят параметрите на функционирането на конкретен икономически обект и да се разработят препоръки за вземане на решения. Използва се за оценка на параметрите на конкретни икономически обекти. Това включва иконометрични модели, които прилагат методите на математическата статистика.

3. Модели на равновесие и растеж

а. Равновесие – дескриптивни (дескриптивни) модели. Те описват такова състояние на икономиката, когато резултатът от всички сили, които се стремят да изведат икономиката от това състояние, е равен на нула. Пример е моделът на Леонтиев (вход-изход),

b. Моделите на растеж са предназначени да определят как трябва да се развива икономиката при определени критерии. Пример - модел Солоу, Самуелсън-Хикс

4. Като се вземе предвид факторът време.

а. Статични - описват състоянието на даден обект в определен момент или период от време.

b. Динамични - включват връзката на променливите във времето. Обикновено се използва апаратът на диференциалните уравнения.

5. Отчитайки фактора случайност.

а. Детерминистични - предполагат строги функционални връзки между променливите на модела.

b. Стохастични - позволяват произволни ефекти върху индикаторите и използват теория на вероятностите и математическа статистика.

КОНТРОЛНИ ВЪПРОСИ

1. Какво е икономическо и математическо моделиране? Неговото място в икономически анализи прогнозиране.

2. Етапи на моделиране. фактори на модела.

3. Класове икономико-математически модели.

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ

ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________

Катедра Информационни системи

МАТЕМАТИЧЕСКА ИКОНОМИКА

Бележки от лекции

За студенти от трети курс на спец

"Приложна информатика (в икономиката)"

Твер 2009 г

1. Методи за оценяване инвестиционни проекти

В момента в развитите страни пазарна икономикав анализа на инвестиционните проекти техниката на дисконтиране, базирана на логиката на сложната лихва, започна да се използва широко. Следователно, в този разделдадени са същността и предимствата на използването на тези методи.

^ 1.1 Метод на нетната настояща стойност

Нетната настояща стойност се изчислява като разлика
дисконтирани до една точка във времето потоци от приходи и разходи
по проект:

където CF INt - паричен приток за период t;

CF OFt - изходящ паричен поток за период t;

R - дисконтов процент;

N - жизнен цикъл на проекта.

В случаите, когато инвестицията е еднократна инвестиция в началния период, формулата за изчисляване на NPV ще изглежда така:

където C 0 - капиталови инвестиции в нулевия период.

Използването на този критерий при вземане на решения е доста просто. Положителната стойност на NPV показва размера на дохода, който инвеститорът ще получи над необходимото ниво. В случай, че NPV е равна на нула, инвеститорът не само връща капитала си, но и го увеличава със сумата, определена от дисконтовия процент. Получената отрицателна NPV показва, че проектът трябва да бъде отхвърлен.

Трябва да се отбележи, че NPV се добавя с течение на времето. Това свойство ви позволява да обобщите нетните настоящи стойности на различни проекти, което е много важно при анализа на оптималността на инвестиционния портфейл.

^ 1.2 Метод за изчисляване на индекса на възвръщаемост на инвестициите

Индексът на рентабилност е съотношението на дисконтираните печалби и разходите по проекта. Тоест, по отношение например на еднократни инвестиции, изчислението се извършва по формулата:

В случай, че стойността на PI>1, проектът е печеливш. Ако PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Предимството на този показател пред показателя NPV е, че той е относителен. Поради това е лесен за използване, когато е необходимо да се избере един проект от редица алтернативни с приблизително еднакви стойности на NPV, както и при формиране на инвестиционен портфейл с максимална обща стойност на NPV.

Такава задача възниква, когато има няколко атрактивни инвестиционни проекта за избор, но поради ограничените финансови ресурси, инвеститорът не може да участва във всички проекти едновременно. След това PI се изчислява за всеки проект и проектите се класират в низходящ ред на PI. Инвестиционният портфейл включва първите m-проекти, които общо могат да бъдат изцяло финансирани.

Ако следващият проект подлежи на разделяне, той също се включва в портфолиото в тази част от него, която може да бъде финансирана.

^ 1.3 Метод за изчисляване на нормата на възвръщаемост на инвестицията

Нормата на възвръщаемост (вътрешна норма на възвръщаемост) е стойността на лихвения процент, при който нетната настояща стойност на проекта е нула:

където IRR е нормата на възвръщаемост (вътрешна норма на възвръщаемост).

Стойността на IRR показва максимално допустимото относително ниво на разходите, които по един или друг начин могат да бъдат свързани с въпросния проект. Например, ако проектът е изцяло финансиран със заем, тогава стойността на IRR ще показва горната граница на банковата лихва, надвишаването на която ще направи проекта нерентабилен.

За определяне на IRR се използват изчислителни или изчислително-графични методи. В първия случай годишните парични потоци (като се вземат предвид необходимите капиталови инвестиции) се дисконтират с различни пробни дисконтови проценти на стъпки от един процент. Това ще произведе поредица от съответстващи нетни настоящи стойности, чиято най-малка положителна стойност ще посочи точната норма на възвръщаемост, която трябва да се вземе предвид.

Използването на изчислителния и графичен метод се свежда до факта, че върху координатната система нормите на възвръщаемост се нанасят по вертикалната ос, а нетните днешни стойности се нанасят по хоризонталната ос. След това се изчисляват две стойности на NPV, съответстващи на всеки две норми на възвръщаемост. Между тези две точки се начертава права линия, пресечната точка на която с вертикалната ос е изчислената вътрешна норма на възвръщаемост. Все пак трябва да се отбележи, че получената стойност трябва да се провери за нула и, ако е необходимо, да се направи корекция.

^ 1.4 Метод за определяне на дисконтирания период на изплащане

Сконтираният период на изплащане е периодът от време, през който инвеститорът напълно възстановява първоначалните си разходи, като същевременно осигурява необходимото ниво на доходност:

където T е дисконтираният период на изплащане;

PV е настоящата стойност на инвестицията.

Този метод е един от най-простите и широко използвани, но обикновено се използва за получаване на допълнителна информация за проекта в случаите, когато основното е инвестицията да се изплати възможно най-скоро. В допълнение, методът е удобен и при анализиране на проекти с висока степен на риск, тъй като колкото по-кратък е периодът на изплащане, толкова по-малко рисков е проектът.

^ 2. Характеристики на прилагането на методи за оценка на инвестиционни проекти

Описаните по-горе методи са справедливи в своята цялост при анализ на независими инвестиционни проекти. Тоест критериите на тези методи само тогава няма да са в конфликт помежду си.

При анализирането на конкурентни проекти възниква различна ситуация, важността на разглеждането на която се дължи на желанието да се увеличи конкуренцията между предприятията, за да се намалят разходите за проекти чрез използване на вътрешните резерви на компаниите. Освен това подобна ситуация може да възникне при сериозни финансови ограничения.

Помислете за два проекта, които се конкурират един с друг. Изчислете нетната настояща стойност на проектите, както и тяхната вътрешна норма на възвръщаемост, при условие че дисконтовият процент е 11%.

маса 1

ПРОЕКТ	СF по години (млн рубли)					NPV при r=11%	IRR
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV при r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

Както се вижда от таблица 1, NPV на проекта X1 ще бъде 33,5 милиона рубли, което е очевидно за предпочитане пред NPV на проекта X2 - 22,4 милиона рубли. Въпреки това, ако се съсредоточим върху вътрешната норма на възвръщаемост, тогава трябва да се даде предпочитание на проекта X2 с IRR = 35% срещу 26,7% за проекта X1. По този начин критериите за NPV и IRR са в конфликт помежду си, въпреки факта, че и двата метода се основават на една и съща формула.

Възникналият проблем се разрешава лесно, ако разгледаме по-подробно същността на критерия IRR, чието изчисляване предвижда възможността за реинвестиране на междинния доход на проекта, осигурявайки възвръщаемост, равна на IRR. Но реалистично ли е да се осигури такава възвръщаемост, ако възвръщаемостта на реинвестицията е по-малка от IRR? Както ще покаже по-нататъшното разглеждане на примера, не.

Нека изчислим абсолютната стойност на дохода на инвеститора в края на четвъртата година или, с други думи, бъдещата стойност на проектите (бъдеща стойност), при условие че процентът на реинвестиция е 11%:

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0,11) \u003d 126,65 милиона рубли,

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 + 40 * (1 + 0,11) 3 \u003d 109,84 милиона рубли.

Нека определим рентабилността на тази операция въз основа на следната зависимост:

Редица изследователи, като отчитат недостатъците на критерия IRR, предлагат вместо това да се използва друг критерий - MIRR (модифициран IRR). MIRR е очакваната възвръщаемост, при условие че всички междинни приходи на проекта се реинвестират при даден процент на възвръщаемост.

таблица 2

Както се вижда от таблица 2, използването на критерия MIRR премахва противоречието между абсолютните и относителните показатели на резултата от изпълнението на проекта. Сега въпросът е премахнат: трябва да се даде предпочитание на проекта X1. Освен това, в бъдеще, когато се сравняват два конкурентни проекта, NPV трябва да се счита за най-добрият критерий.

Дадените примери се основават на противоречието между критериите за NPV и IRR при анализа на проекти с еднакъв размер на капиталовите инвестиции. Следователно е необходимо също така да се разгледа пример за анализ на конкурентни проекти с различен обем на инвестициите.

Таблица 3

ПРОЕКТ	СF по години (млн рубли)					NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

Анализът на данните, представени в таблица 3, показва, че критериите IRR и MIRR сочат към проекта X3, докато критерият NPV, който е взет като основен в предишния пример, е ясно на страната на проекта X2. Тоест в тази ситуация възникна проблемът с непропорционалните проекти (проблемът с мащаба). Следователно окончателното решение тук може да бъде взето само след анализ на възможното вграждане на разликата между CFo (X3) и CFo (X2). В нашия пример тази разлика е 45 милиона рубли.

Да предположим, че имаме възможност да инвестираме тези средства по следния начин:

Таблица 4

ПРОЕКТ	СF по години (млн рубли)					NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

Сега е необходимо да разберете какво е за предпочитане - проектите X3 и X4 или проектът X2?

Таблица 5

ПРОЕКТ	СF по години (млн рубли)					NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

Имайки предвид резултатите, отразени в таблица 5, става ясно, че инвеститорът ще отхвърли проекта Х2 в полза на реализацията на двата проекта Х3 и Х4. В същото време трябва да се отбележи, че окончателният избор все още ще бъде проектът X1:

Таблица 6

ПРОЕКТ	СF по години (млн рубли)					NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
ПРОЕКТ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	ОГЛЕДАЛО (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

Възможно е обаче да има ситуации, когато освен проектите X3 и X4, няма повече проекти с положителна NPV. В този случай е необходимо да се съсредоточите не върху нормата на възвръщаемост, а върху NPV.

Трябва да се отбележи, че проблемът с мащаба може да възникне и в случай на NPV - PI. В този случай методът на решение ще бъде подобен.

По този начин можем да направим следното заключение: желателно е инвестиционните проекти да се анализират по няколко метода наведнъж, което ще позволи получаването на допълнителна важна информация за тях.

^ 3. Отчитане на инфлацията при анализа на проектите

Ефектът от инфлацията може да се вземе предвид чрез коригиране или на бъдещи приходи, или на сконтов процент за неговия индекс. В този случай е препоръчително да използвате следната зависимост:

Където r nom е номиналният лихвен процент;

R real - реален лихвен процент;

λ е общото ниво на инфлация.

За малки стойности rи λ формула (7) може да бъде записана по следния начин:

R nom ≈ r реално + λ (8)

Като сконтов процент могат да се използват както номинални, така и реални лихвени проценти. Изборът зависи от това как се измерва паричният поток на проекта. Ако паричният поток е представен в реално изражение (по постоянни цени), тогава реалният лихвен процент трябва да се използва за дисконтиране.

Въпреки това използването на реални лихвени проценти и изчисляването на паричните потоци при постоянни цени не позволява структурна инфлация. В такива случаи изчислението трябва да се извърши по текущи цени:

В последния случай обаче е необходима способност за прогнозиране на увеличенията на цените.

^ 4. Отчитане на риска при анализа на отделен проект

Анализ на риска на отделен проект се извършва само ако инвестиционният проект е независим. В този случай е напълно достатъчно да се използват два показателя: очакваната възвръщаемост и стандартното отклонение (RMS) на възвръщаемостта, които напълно определят нормалното разпределение.

Очакваната възвръщаемост се изчислява, както следва:

(11)

където R i - доходност по i-тия сценарий;

P i - вероятност за развитие на събития по i-тия вариант;

N е броят на разгледаните опции.

По този начин е ясно, че очакваната възвръщаемост е най-вероятната възвръщаемост на проекта, докато стандартното отклонение, което измерва дисперсията на очакваната възвръщаемост, е индикатор за риска на проекта:

Когато сравнявате рисковете за активи с различна очаквана възвръщаемост, препоръчително е да използвате коефициента на вариация (т.е. мярка за относителна дисперсия):

(13)

Очевидно е, че колкото по-високи са SD и CV, толкова по-висок е рискът. Като пример, разгледайте произволните извадкови данни, представени в таблица 7:

Таблица 7

Проект	Р		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
x2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

В този пример проектът X2 е най-малко печеливш и в същото време най-рисков, следователно трябва да бъде отхвърлен незабавно, а по-нататъшният избор ще зависи от отношението на инвеститора към риска. Ако е отрицателна, проектът XZ ще бъде реализиран. Ако инвеститорът е склонен да рискува, XI ще бъде предпочитан.

Практиката показва, че инвеститорите на ниво общински служители се стремят да изберат минималния риск. Така в нашия случай проектът KhZ ще бъде приет за инвестиция.

^ 5. Отчитане на риска при портфейлен анализ

Обикновено, за да се намали несистемната част от риска, се използва диверсификация, която се основава на създаването на ефективен портфейл чрез анализ на съотношението на неговите активи. В същото време трябва да се отбележи, че всяка нова инвестиция тук трябва да се разглежда, като се вземе предвид текущият портфейл.

Нека разгледаме методологията за изчисляване на риска на портфейл, състоящ се от три проекта, като използваме данните, представени в таблица 7 като пример, а също и при условие, че всеки проект ще получи една трета от инвестираната сума.

Възвръщаемостта на портфейла ще бъде определена, както следва:

(14)

Където R k е очакваната рентабилност на k-тия проект;

X k - дял на средствата, инвестирани в k-тия проект;

M - броят на проектите в портфолиото.

В нашия пример:

Р портфолио = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

В нашия пример:

cov 12 = 7,34 и cov 13 = – 8,12.

По този начин е очевидно, че възвръщаемостта на проектите X1 и X2 се променя в една и съща посока, а възвръщаемостта на проектите X1 и X3, както и на X2 и X3 - в обратна посока. Въпреки това, тъй като абсолютната стойност на ковариацията е трудна за тълкуване, степента на взаимозависимост между индикаторите се изчислява с помощта на коефициента на корелация:

При r = +1 индикаторите се променят във времето по абсолютно същия начин, при r = -1 има напълно отрицателна корелация, нулата показва липсата на връзка.

В този пример:

r 12 = 0,71, r 13 = -0,96 и r 23 = -0,6.

Очевидно, за да се намали рискът, комбинацията от портфолио от проекти X1 и X3 би била най-подходяща. В същото време обаче е необходимо да се изчисли самият портфейлен риск, като се вземе предвид корелацията между проектите:

Изчислете портфейлния риск (X1, X3) при условие на равни капиталови инвестиции:

По този начин рискът на нашия портфейл е значително по-нисък от рисковете на съставните му проекти и при r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Методологията за съставяне на портфолио от множество проекти е същата като за съставяне на портфолио с два актива.

От цялата съвкупност от портфейли, посочени от зоната на Фиг. 1, е необходимо да се изберат тези портфейли, които са на линията AB - те са тези, които осигуряват минимален риск с най-висока очаквана възвръщаемост. В този случай конкретният избор между тях зависи от нашето отношение към риска. Графично изборът между риск и възвръщаемост се изразява чрез криви на безразличие, уникален набор от които съществува за всеки индивид по отношение на предпочитанията на този индивид за риск и възвръщаемост.

Фиг.1 Проблемът с избора на оптимален портфейл.

Правата линия от точката на възвръщаемост на безрисков актив през допирателната точка на възможната крива на портфейла AB се нарича Линия на капиталовия пазар (CML) и отразява избора в системата риск-възвръщаемост. Точка C на фиг. 1 по този начин отразява риска и възвръщаемостта на пазарния портфейл. Най-високото ниво на полезност се постига от инвеститора в точката, където неговата крива на безразличие към риска и възвращаемостта докосва линията на капиталовия пазар. Ако инвеститорът предпочита сигурността, тогава тази точка ще бъде разположена вляво от пазарния портфейл (вляво от C); инвеститорът инвестира както в безрискови, така и в рискови активи и портфолиото му в резултат на това има нисък риск и ниска възвръщаемост. Ако инвеститорът е по-склонен към риска, допирната точка ще бъде вдясно от пазарния портфейл (вдясно от C); средствата се инвестират в по-рискови активи и портфейлът има по-голям риск и по-висока възвръщаемост.

Проблемът с намирането на оптимален портфейл, състоящ се от много активи, по принцип може да бъде решен чрез процедурата за подбор - ние търсим портфейл с най-висока очаквана възвръщаемост за дадено ниво на риск. На практика обаче е целесъобразно проблемът с разпределението на капитала да се реши с помощта на квадратична версия на линейното програмиране.

Нека определим дела на i-тия актив в портфейла по разходи:

където CF OFt max е максимално допустимият размер на инвестиционната програма за период t.

Помислете за обобщения индикатор за риск:

Целевата функция (20), която минимизира риска на крайния портфейл, където бинарната променлива X i действа като критерий за участие в портфейла, чиято единична стойност показва влизането на i-тия проект в портфейла, а нулевата стойност показва отказа на i-тия проект да инвестира, изглежда по следния начин:

с ограничения:

където NPV min е размерът на минималната приемлива нетна настояща стойност на портфейла;

T n - началният период на инвестиционната програма;

Т до - крайният период на инвестиционната програма;

V k - вектор на конкурентни проекти;

V - набор от вектори на конкурентни проекти;

N l - броят на проектите от предишния портфейл, T до който надвишава T n на портфолиото, което се съставя.

Очевидно при изчисляване на целевата функция (20) се използва само тази част от дисперсионно-ковариационната матрица (19), която се намира на и под главния диагонал, което се дължи на прилагането на ограничителното условие във вложен цикъл върху колоните, докато, тъй като има две ковариации за за всяка възможна двойка проекти, се въвежда коефициент на удвояване за стойностите на вложения цикъл.

По този начин проблемът за оптимизиране е да се определи кои проекти трябва да бъдат приети за инвестиране, така че размерът на очаквания доход и нивото на риск оптимално да съответстват на целите на инвеститора, които се определят от посоката на целевата функция и набор от ограничения:

1. Рискът, измерен чрез дисперсия (RMS) на портфейла, е сведен до минимум.

2. Приходът от портфейла, равен на адитивния показател на очакваната нетна настояща стойност на приетите проекти, не трябва да бъде по-малък от необходимата сума, дадена от стойността, дисконтирана към първоначалния инвестиционен период.

3. Общият обем на годишните инвестиции не може да надвишава границите на наличните (разпределените) средства, установени за даден период от време поотделно за всяка година от инвестиционната програма.

4. В портфолиото може да бъде включен само един от проектите, представляващи една и съща група конкурентни проекти.

5. Съставянето на нов портфейл се извършва, като се вземе предвид задължителното включване в неговия състав на тези проекти от предишния портфейл, периодът на завършване на инвестиционната програма, за който надвишава периода на стартиране на инвестиционната програма на новия портфейл .

6. Разглежданите проекти не подлежат на дробене.

Описаният проблем включва редица ограничения под формата на неравенства, които основно определят ограничения за инвестиране в определени области. В противен случай е невъзможно да се гарантира, че полученото решение ще бъде на границата на ефективност. По този начин може да се окажем с по-рисково портфолио, но няма да е необходимо да използваме всичките си пари и/или ще можем да спечелим по-висока възвръщаемост.

Изчисляване и издаване на получените характеристики на портфейла:

Много избрани проекти:

Очаквана нетна настояща стойност на портфейла:

Очаквана възвръщаемост на портфейла:

Риск на портфейла на проекта:

Спестяване на финансови ресурси:

Съществуват различни дефиниции на понятието „риск“, следователно, обобщавайки горното, ще разбираме риска като ситуация, при която има няколко възможни резултата от определени действия, а също така има необходими данни от минали периоди, които позволяват изчислете някои зависимости, за да предвидите възможни бъдещи резултати.

Моделът CAPM (capital asset pricing model), широко използван за съставяне на портфейли, разработен от W. Sharp, изхожда от факта, че е важно да се вземе предвид само систематичният риск на всеки отделен актив. Трудовете на Г. Марковиц обаче доказват важността на отчитането на цялостния риск като цяло. Следователно предишното разсъждение се основаваше именно на тази предпоставка.

Систематичният риск се причинява от фактори като инфлацията. икономическа криза, други общи пазарни фактори.

Наличието на несистематичен риск е свързано със случайни събития, които засягат конкретни активи или компании.

Библиографски списък

Бард В.С. Финансово-инвестиционен комплекс: теория и практика в контекста на реформирането на руската икономика. - М: Финанси и статистика, 1998. - 304 с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Инвестиционен анализ: Учебник за студенти от ВУЗ, обучение по икономика; Богатин Ю.В., Швандар В.А. - М.: ЮНИТИ, 2000. - 286с.
Богатин Ю.В., Швандар В.А. Оценка на ефективността на бизнеса и инвестициите: Учебник за студенти на университети, специално обучение по икономика .. - М: Финанси, UNITY-DANA, 1999. - 256p.
Бочаров В.В. Инвестиционен мениджмънт: Учебник. - Санкт Петербург и др.: Петър, 2000. - 152с. - Кратък курс.
Бродски М.Н., Бродски Г.М. Право и икономика: инвестиционно консултиране; Санкт Петербургски държавен университет по икономика и финанси. - SPb., 1999. - 488s.
Вахрин П.И. Организация и финансиране на инвестициите: (Сборник с практически задачи и конкретни ситуации): Учеб. - М.: Информационно-внедрителен център "Маркетинг", 1999. - 149с.
Игошин Н.В. Инвестиции.Организация на управлението и финансирането: Учебник за студентски университети, специално обучение по икономика .. - М: Финанси, ЮНИТИ, 1999. - 414 с.
Ковалев В.В. Финансов анализ Управление на капитала Избор на инвестиция Анализ на отчетите. - 2-ро изд., преработено и допълнително .. - М .: Финанси и статистика, 1997. - 511s.
Колемаев В.А. Математическа икономика. - М.: Финанси и статистика, 2003. - 206с.
Крушвиц Л. Финансиране и инвестиции Неокласически основи на теорията на финансите: Учебник за ВУЗ: Превод от немски .. - Санкт Петербург. и други: Петър, 2000. - 381s. - Основен курс.
Лимитовски М.А. Основи на оценката на инвестиционни и финансови решения. - 3-то изд., допълнително и преработено .. - М .: DeKA, 1998. - 231s.
Оценка на ефективността на инвестициите на предприятието: Метод.препоръки за написване на орг.-ик. част от дипломния проект на студенти от техн. специалист.; Държавен технически университет Катедра по икономика и управление Произведено от V.A.Nikolskaya, A.G.Bokicheva. - Твер, 2000. - 12с.
Салманов O.N. Математическа икономика с помощта на Mathcad и Excel. BHV-Петербург, 2003. - 464 с.
Сергеев И.В., Веретенникова И.И. Организация и финансиране на инвестициите: Учебник за студенти по икономически и специални направления; Сергеев И.В., Веретенникова И.И. - М.: Финанси и статистика, 2000. - 271s.
Холт Р.Н., Барнс С.Б. Инвестиционно планиране: [Урок]: Превод от англ.
Четиркин Е.М. Финансов анализ на индустриални инвестиции; Академик по национална икономика към правителството на Руската федерация. - М.: Дело, 1998. - 255с.
Sharp W.F., Александър G.D. Инвестиции: Превод от английски език; Изготвен с финансовата помощ на Националния фонд за подготовка на финансови и управленски кадри в рамките на неговата програма „Банково дело“. - М.: INFRA-M, 1997. - 1024 с.

Софтуерна и информационна поддръжка

Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
Монахов А.В. Математически методи на икономически анализ. // www. Моят магазин. ru.
Колемаев В.А. Математическа икономика.Учебник. // www. Хугахуга. ru.