Matemātiskā ekonomika - Kolemajevs V.A. Lekcijas - matemātiskā ekonomika - kartotēkas ekonomikas lekcijas.doc Matemātiskās ekonomikas lekcijas

Matemātiskā ekonomika ir teorētiska un lietišķa zinātne, kuras priekšmets ir ekonomisko objektu un procesu matemātiskie modeļi un to izpētes metodes.

Matemātikas zinātņu rašanās neapšaubāmi bija saistīta ar ekonomikas vajadzībām. Bija nepieciešams, piemēram, noskaidrot, cik daudz zemes apsēt ar graudiem, lai pabarotu ģimeni, kā uzmērīt apsēto lauku un novērtēt turpmāko ražu.

Attīstoties ražošanai un tās sarežģījumiem, pieauga arī ekonomikas vajadzības matemātiskajos aprēķinos. Mūsdienu ražošana ir daudzu uzņēmumu stingri līdzsvarots darbs, ko nodrošina ļoti daudzu matemātisko problēmu risinājums. Šo darbu aizņem milzīga ekonomistu, plānotāju un grāmatvežu armija, un aprēķinus veic tūkstošiem elektronisko datoru. Starp šādiem uzdevumiem ir gan ražošanas plānu aprēķins, gan būvlaukumu izdevīgākā izvietojuma noteikšana, gan ekonomiskāko transportēšanas maršrutu izvēle u.c. Matemātiskā ekonomika nodarbojas arī ar jau zināmu ekonomisko parādību formalizētu matemātisko aprakstu, pārbaudot dažādas hipotēzes par ekonomiskajām sistēmām, kuras raksturo noteiktas matemātiskas attiecības.

Apskatīsim divus vienkāršus piemērus, kas parāda matemātisko modeļu izmantošanu šim nolūkam.

Lai preču pieprasījums un piedāvājums ir atkarīgs no cenas. Līdzsvaram tirgus cenai jābūt tādai, lai prece būtu izpārdota un nebūtu pārpalikuma:

. (1)

Bet, ja, piemēram, priekšlikums kavējas par vienu laika intervālu, tad, kā parādīts attēlā. 1 (kur pieprasījuma un piedāvājuma līknes parādītas kā cenas funkcijas), pie cenas pieprasījums pārsniedz piedāvājumu. Un tā kā piedāvājums ir mazāks par pieprasījumu, cena pieaug un preces tiek uzpirktas par cenu. Par šo cenu piedāvājums palielinās līdz ; tagad piedāvājums ir lielāks par pieprasījumu un ražotāji ir spiesti pārdot preces par cenu, pēc kā piedāvājums krītas un process atkārtojas. Rezultāts ir vienkāršs biznesa cikla modelis. Pamazām tirgus nonāk līdzsvarā: pieprasījums, cena un piedāvājums tiek iestatīti līmenī.

Rīsi. 1 atbilst (1) vienādojuma atrisinājumam ar secīgu tuvinājumu metodi, kas nosaka šī vienādojuma sakni, t.i. līdzsvara cena un atbilstošā piedāvājuma un pieprasījuma vērtība.

Apsveriet sarežģītāku piemēru - uzkrāšanas "zelta likumu". Uzņēmuma galaproduktu produkcijas vērtību (rubļos) noteiktā brīdī nosaka darbaspēka izmaksas, kuru produktivitāte ir atkarīga no tā aprīkojuma piesātinājuma pakāpes attiecības pret darbaspēka izmaksām. Matemātiskais apzīmējums tam ir šāds:

. (2)

Galaprodukts tiek sadalīts aprīkojuma patēriņam un uzkrāšanai. Ja mēs apzīmējam izlaides daļu, kas iet uz uzkrāšanu caur , tad

Ekonomikā to sauc par uzkrāšanas ātrumu. Tās vērtība ir no nulles līdz vienam.

Laika vienībā iekārtu apjoms mainās par akumulācijas apjomu

. (4)

Līdzsvarotai ekonomikas izaugsmei visas tās sastāvdaļas aug vienādos pieauguma tempos. Pēc formulas saliktie procenti mēs iegūstam:

, , , .

Ja mēs ieviesīsim vērtības, kas raksturo patēriņu, aprīkojuma apjomu un izlaidi uz vienu darbinieku, tad sistēmā nonāks attiecību sistēma (2) - (4).

, , . (5)

Otrais no šiem koeficientiem, ņemot vērā pieauguma tempus un patēriņu, noteiks kapitāla un darbaspēka attiecību kā līknes un taisnes krustošanās punktu attēlā. 2. Šīs līnijas noteikti krustosies, jo funkcija , lai arī monotoni, aug, kas nozīmē izlaides pieaugumu līdz ar darbaspēka pieaugumu , bet maigāk, t.i. tā ir ieliekta funkcija. Pēdējais apstāklis atspoguļo faktu, ka papildu aprīkojuma palielinājums uz vienu darbinieku, palielinoties tā darba slodzei, kļūst arvien mazāk efektīvs (“derīguma samazināšanās likums”). Līkņu saime atbilst dažādām uzkrāšanas ātruma vērtībām. Segmenta garums, kā izriet no formulas (5), ir vienāds ar patēriņu. Pie (punkts 2. att.) vispār nav patēriņa - visa produkcija aiziet iekārtu uzkrāšanai. Tagad samazināsim uzkrāšanas ātrumu. Tad patēriņš (garums ) jau būs nulle, lai gan ekonomikas pieauguma temps (taisnes slīpums) paliek nemainīgs. Punktā ar ordinātu, kuram līknes pieskare ir paralēla taisnei, patēriņš ir maksimālais. Tas atbilst ģimenes līknei ar noteiktu uzkrāšanas ātrumu, ko sauc par "zelta uzkrāšanas ātrumu".

LEONĪDS VITALIEVIČS KANTORovičs
(1912-1986)

L. V. Kantorovičs - padomju matemātiķis un ekonomists, lineārās programmēšanas un sociālistiskās ekonomikas optimālās plānošanas teorijas radītājs, akadēmiķis, Nobela prēmijas laureāts.

L. V. Kantorovičs dzimis Sanktpēterburgā, ārsta ģimenē. Viņa spējas izpaudās neparasti agri. Jau pie 4 vārtiem viņš brīvi operēja ar daudzciparu skaitļiem, septiņu gadu vecumā apguva ķīmijas kursu pēc vecākā brāļa mācību grāmatas. 14 gadu vecumā viņš kļuva par Sanktpēterburgas universitātes studentu. Laikā, kad viņš beidza universitāti, 1930. gadā, L. V. Kantorovičs jau bija pazīstams zinātnieks, vairāku desmitu darbu autors vadošos starptautiskos matemātikas žurnālos un 20 gadu vecumā bija matemātikas profesors.

1935. gadā zinātnieks ieviesa un pētīja funkciju telpu klasi, kurā noteiktai to elementu kopai ir definēta secības attiecība. Šādu telpu teorija, tās sauc par Kantoroviča telpām vai -telpām, ir viena no galvenajām funkcionālās analīzes sadaļām. Nesenie darbi saistībā ar kontinuuma problēmas risinājumu ir noteikuši -telpu vietu starp fundamentālākajām matemātiskajām struktūrām.

L. V. Kantorovičs izcēlās ar savu apbrīnojamo spēju saskatīt problēmas būtību konkrētā problēmā un, izveidojot teoriju, dot vispārīgu metodi plašas līdzīgu problēmu klases risināšanai. Īpaši skaidri tas atklājās viņa darbos par skaitļošanas matemātiku un matemātisko ekonomiku.

30. gadu sākumā. L. V. Kantorovičs bija viens no pirmajiem ievērojamajiem zinātniekiem, kurš sāka interesēties par skaitļošanas matemātiku. Šīs zinātnes mūsdienu izskatu lielā mērā noteica viņa darbi. To vidū ir fundamentālā un klasiskā monogrāfija "Approximate Methods of Higher Analysis"; skaitļošanas metodes ar viņa vārdu; vispārējā teorija aptuvenās metodes, kas balstītas uz funkcionālo analīzi (Valsts balva, 1949); darbi pie automātiskās programmēšanas, kas veikti datoru ēras rītausmā un paredzot daudzas mūsdienu idejas, un visbeidzot, virkni izgudrojumu datortehnoloģiju jomā.

1939. gadā Ļeņingradā tika izdota neliela brošūra "Ražošanas organizēšanas un plānošanas matemātiskās metodes", kurā faktiski bija jauna lietišķās matemātikas sadaļa, ko vēlāk sauca par lineāro programmēšanu (skat. Ģeometrija). Iemesls tā rakstīšanai bija konkrēts ražošanas uzdevums. Apzinoties dispersijas un optimāluma jēdzienu būtisko nozīmi sociālistiskajā ekonomikā, tādus svarīgus rādītājus kā cena, īre, efektivitāte, viņš turpina izstrādāt optimālās plānošanas teoriju, kas vēlāk tika apbalvota ar Ļeņina (1965) un Nobela (1975) apbalvojumu. balvas.

Grāmata "Resursu vislabākās izmantošanas ekonomiskais aprēķins", kurā izklāstīta šī teorija, tika uzrakstīta Ļeņingradas blokādes apstākļos un pabeigta jau 1942. gadā.

Izprotot šo pētījumu īpašo nozīmi, zinātnieks neatlaidīgi centās praktiski izmantot to rezultātus. Tomēr darbs tika publicēts tikai 1959. gadā, un pat tad tam uzbruka ortodoksālie politekonomisti. L. V. Kantoroviča grāmata veidoja veselas padomju ekonomistu paaudzes uzskatus. Daudzas no pirmajām tur izteiktajām idejām tiek īstenotas perestroikas gaitā.

Pēc olimpiādes ir interesanti pārrunāt problēmu risināšanu.

Sarežģīta problēma matemātiskajā ekonomikā ir teorijas un prakses salīdzināšana: ir ārkārtīgi grūti izmērīt ekonomiskos rādītājus - tos nemēra laboratorijas telpās, novērojumus var veikt ārkārtīgi reti (atcerieties tautas skaitīšanu!), tie tiek veikti dažādos apstākļos. un satur daudz neprecizitāšu. Tāpēc šeit ir grūti izmantot citās zinātnēs uzkrāto mērījumu pieredzi, un nepieciešama īpašu metožu izstrāde.

Matemātiskās ekonomikas attīstība izraisīja daudzu matemātisko teoriju rašanos, kuras vieno nosaukums "matemātiskā programmēšana" (par lineāro programmēšanu skatīt rakstu "Ģeometrija").

Matemātisko metožu pielietošanas jautājumi ekonomikā tika izstrādāti padomju matemātiķa L. V. Kantoroviča darbos, kuriem tika piešķirtas Ļeņina un Nobela prēmijas.

Matemātiskā ekonomika ir teorētiska un lietišķa zinātne, kuras priekšmets ir ekonomisko objektu un procesu matemātiskie modeļi un to izpētes metodes.

Apskatīsim divus vienkāršus piemērus, kas parāda matemātisko modeļu izmantošanu šim nolūkam.

Lai preces pieprasījums S un piedāvājums D ir atkarīgi no cenas P. Līdzsvaram tirgus cenai jābūt tādai (P *), lai prece būtu izpārdota un nebūtu pārpalikuma:

D(P*) = S(P*). (viens)

Bet, ja, piemēram, priekšlikums kavējas par vienu laika intervālu, tad, kā parādīts attēlā. 1 (kur pieprasījuma un piedāvājuma līknes parādītas kā cenas funkcijas), pie cenas P 0 pieprasījums S 0 pārsniedz piedāvājumu D 0 . Un tā kā piedāvājums ir mazāks par pieprasījumu, cena pieaug un preces tiek uzpirktas par cenu P 1 > P 0 . Par šo cenu piedāvājums palielinās līdz S 1 vērtībai; tagad piedāvājums ir lielāks par pieprasījumu, un ražotāji ir spiesti pārdot preces par cenu P 2< Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S * , P * , D * .

Rīsi. 1 atbilst (1) vienādojuma atrisinājumam ar secīgu tuvinājumu metodi, kas nosaka šī vienādojuma sakni, t.i. līdzsvara cena P * un atbilstošā piedāvājuma un pieprasījuma vērtība S * , D * .

Apsveriet sarežģītāku piemēru - uzkrāšanas "zelta likumu". Uzņēmuma galaproduktu Y t izlaides apjomu (rubļos) brīdī t nosaka darbaspēka izmaksas Lt, kuru produktivitāte ir atkarīga no tā iekārtu piesātinājuma pakāpes K t attiecības pret darbaspēka izmaksām. Matemātiskais apzīmējums tam ir šāds:

Y t = f(K t /L t)L t . (2)

Galaprodukts tiek sadalīts patēriņam C t un iekārtu uzkrāšanai. Ja caur s apzīmējam izlaides daļu, kas iet uz uzkrāšanu, tad

C t = (l - s) Y t . (3)

Ekonomikā s sauc par uzkrāšanas ātrumu. Tās vērtība ir no nulles līdz vienam.

Laika vienībā iekārtu apjoms mainās par akumulācijas apjomu

K t+1 - K t = sY t . (četri)

Līdzsvarotai ekonomikas izaugsmei visas tās sastāvdaļas aug ar tādu pašu pieauguma tempu λ. Izmantojot salikto procentu formulu, mēs iegūstam:

Y t = (1+λ) t Y, L t = (1+λ) t L, K t = (1+λ) t K, C t = (1+λ) t C.

Ja ieviesīsim lielumus, kas raksturo patēriņu c = C/L, iekārtu tilpumu R = K/L un izlaidi y = Y/L uz vienu strādnieku, tad sistēmā nonāks attiecību sistēma (2)-(4).

y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (5)

Otrā no šīm attiecībām, ņemot vērā pieauguma ātrumu λ un patēriņu s, noteiks kapitāla un darbaspēka attiecību R kā līknes y = sf(R) un taisnes y = λR krustpunktu attēlā. 2. Šīs taisnes noteikti krustosies, jo funkcija f(R), lai arī monotoni, tomēr aug, kas nozīmē izlaides pieaugumu līdz ar darbaspēka R pieaugumu, bet arvien maigāk, t.i., šī ir ieliekta funkcija. Pēdējais apstāklis atspoguļo faktu, ka papildu aprīkojuma palielinājums uz vienu darbinieku, pieaugot tā darba slodzei, kļūst arvien mazāk efektīvs (“derīguma samazināšanās likums”). Līkņu saime y = sf(R) atbilst dažādām uzkrāšanas ātruma S vērtībām. Segmenta AB garums f(R) - sf(R), kā izriet no formulas (5), ir vienāds ar patēriņu c. Pie s = 1 (punkts A 0 2. att.) patēriņa nav vispār - visa produkcija aiziet iekārtu uzkrāšanai. Tagad samazināsim uzkrāšanas ātrumu s. Tad patēriņš c (garums AB) jau būs nulle, lai gan ekonomikas pieauguma temps λ (taisnes OB slīpums) paliek nemainīgs. Punktā ar ordinātu R * , kuram līknes pieskare y = f(R) ir paralēla taisnei y = λR, patēriņš ar * ir maksimālais. Tas atbilst ģimenes līknei y = s * f (R) ar noteiktu uzkrāšanas ātrumu s *, ko sauc par “zelta uzkrāšanas ātrumu”.

Sarežģīta problēma matemātiskajā ekonomikā ir teorijas un prakses salīdzināšana: ir ārkārtīgi grūti izmērīt ekonomiskos rādītājus - tos nemēra laboratorijas telpās, novērojumus var veikt ārkārtīgi reti (atcerieties tautas skaitīšanas!), Tos veic dažādās vietās. nosacījumiem un satur daudz neprecizitāšu. Tāpēc šeit ir grūti izmantot citās zinātnēs uzkrāto mērījumu pieredzi, un nepieciešama īpašu metožu izstrāde.

Matemātisko metožu pielietošanas jautājumi ekonomikā tika izstrādāti padomju matemātiķa L. V. Kantoroviča darbos, kuriem tika piešķirtas Ļeņina un Nobela prēmijas.

Priekšmets un metodes ekonomikas teorija

Ekonomiskās attiecības caurstrāvo visas cilvēka dzīves sfēras. Viņu modeļu izpēte senatnē nodarbināja filozofu prātus. pakāpeniska attīstība Lauksaimniecība, privātīpašuma rašanās veicināja sarežģījumus ekonomiskās attiecības un pirmo ekonomisko sistēmu izveide. Zinātniskais un tehnoloģiskais progress, kas noteica pāreju no roku darba uz mašīnu darbu, deva spēcīgu impulsu ražošanas konsolidācijai un līdz ar to ekonomisko saišu un struktūru paplašināšanai. AT mūsdienu pasaule Ekonomika arvien vairāk tiek aplūkota kopā ar citiem saistītiem jautājumiem sociālās zinātnes. Proti, abu virzienu krustpunktā ir dažādi praktiski pielietojami risinājumi.

Ļoti fundamentālā virzība uz ekonomiku izveidojās tikai deviņpadsmitā gadsimta vidū, lai gan zinātnieki daudzās valstīs gadsimtu gaitā izveidoja īpašas skolas, kas pētīja cilvēku ekonomiskās dzīves modeļus. Tikai šajā laikā, papildus notiekošā kvalitatīvam novērtējumam, zinātnieki sāka pētīt un salīdzināt reālos notikumus ekonomikā. Klasiskās ekonomikas attīstība veicināja lietišķo disciplīnu veidošanos, kas pēta šaurākas ekonomisko sistēmu jomas.

Galvenais ekonomikas teorijas studiju priekšmets ir optimālu risinājumu meklēšana dažādu organizācijas līmeņu ekonomikām augošā pieprasījuma apmierināšanai ierobežotu resursu apstākļos. Ekonomisti savos pētījumos izmanto dažādas metodes. Starp tiem visbiežāk izmantotie ir šādi:

Metodes, kas ļauj novērtēt vispārīgos elementus vai vispārināt atsevišķas struktūras. Tos sauc par analīzes un sintēzes metodēm.
Indukcija un dedukcija ļauj aplūkot procesu dinamiku no konkrētā uz vispārējo un otrādi.
Sistemātiska pieeja palīdz aplūkot atsevišķu ekonomikas elementu kā struktūru un to analizēt.
Praksē plaši tiek izmantota abstrakcijas metode. Tas ļauj nodalīt pētīto objektu vai parādību no tā attiecībām un ārējiem faktoriem.
Tāpat kā citās zinātnēs, arī ekonomikā bieži tiek lietota matemātikas valoda, kas palīdz vizualizēt pētāmos ekonomikas elementus, kā arī analizēt vai veidot nepieciešamo tendenču prognozi.

Matemātiskās ekonomikas būtība

Mūsdienu ekonomika izceļas ar tajā pētāmo sistēmu sarežģītību. Parasti viens ekonomikas aģents noslēdz daudzas attiecības vienlaikus un katru dienu. Ja mēs runājam par uzņēmumu, tad tā iekšējo un ārējo mijiedarbību skaits palielinās tūkstošiem reižu. Lai atvieglotu ekonomistu un zinātnieku pētniecības un analītiskos uzdevumus, tiek izmantota matemātikas valoda. Matemātisko rīku attīstība dod iespēju atrisināt problēmas, kuras nav pa spēkam citām ekonomikas teorijā izmantotajām metodēm.

Matemātiskā ekonomika ir pielietota ekonomikas teorijas joma. Tās galvenā būtība ir matemātisko metožu, līdzekļu un rīku pielietošana ekonomisko sistēmu aprakstīšanai, izpētei un analīzei. Tomēr šai disciplīnai ir sava specifika. Tas nepēta ekonomikas parādības kā tādas, bet nodarbojas ar aprēķiniem, kas saistīti ar matemātiskajiem modeļiem.

1. piezīme

Par matemātiskās ekonomikas mērķi, tāpat kā lielāko daļu lietišķo jomu, var saukt objektīvas informācijas veidošanu un praktisko problēmu risinājumu meklēšanu. Tā pēta, pirmkārt, kvantitatīvos, kvalitatīvos rādītājus, kā arī ekonomisko aģentu uzvedību dinamikā.

Matemātiskās ekonomikas izaicinājumi ir šādi:

Matemātisko modeļu konstruēšana, kas apraksta procesus un parādības ekonomikas sistēmās.
Dažādu ekonomisko attiecību subjektu uzvedības izpēte.
Palīdzības īstenošana plānu, prognožu, dažāda veida notikumu izstrādē un izvērtēšanā dinamikā.
Matemātisko un statistisko vērtību analīzes veikšana.

Lietišķā matemātika ekonomikā

Matemātiskā ekonomika savā sociālajā nozīmē ir pietiekami tuva matemātikai. Ja mēs aplūkojam šo disciplīnu no matemātikas zinātnes puses, tad tai tas ir lietišķs virziens. Lietišķā matemātika ļauj apsvērt un analizēt vissarežģītāko ekonomisko sistēmu atsevišķus elementus, jo tai ir plaša funkcionalitāte, kuras pamatā ir matemātikas pamatzināšanas. Šādas matemātikas iespējas veicināja matemātiskās ekoloģijas, socioloģijas, valodniecības un finanšu matemātikas rašanos.

Apsveriet svarīgākās matemātiskās metodes, ko izmanto ekonomisko sistēmu izpētē:

Operacionālais pētījums nodarbojas ar procesu un parādību izpēti sistēmās. Tas ietver analītisko darbu un iegūto rezultātu pielietojuma optimizāciju praksē.
Matemātiskā modelēšana ietver plašu metožu un rīku klāstu, kas ļauj atrisināt problēmas, ar kurām saskaras zinātnieki un ekonomisti. Visbiežāk izmantotās ir spēļu teorija, pakalpojumu teorija, plānošanas teorija un inventāra teorija.
Optimizācija matemātikā ir saistīta ar galējo vērtību meklēšanu, gan maksimālo, gan minimālo. Šiem nolūkiem parasti izmanto funkciju grafikus.

Iepriekš uzskaitītās matemātikas metodes ļauj pētīt statistiskās situācijas ekonomikā vai procesus īstermiņa periodos. Kā zināms, šobrīd galvenais mērķis saimnieciskās vienības ir atrast ilgtermiņa līdzsvaru. Šajos pētījumos svarīgs ir laika faktors, ko var ņemt vērā, aprēķiniem pielietojot varbūtības teoriju, optimālā risinājuma teoriju.

2. piezīme

Tādējādi matemātika un ekonomika ir cieši saistītas viena ar otru. Ekonomisko struktūru dinamiku pieņemts ietērpt matemātiskajos modeļos, kurus pēc tam var sadalīt atsevišķos apakšuzdevumos un pielietot visas iespējamās ekonomiskās analīzes metodes, kā arī matemātiskos aprēķinus. Lēmumu pieņemšana ekonomikas jomā ir diezgan sarežģīta darbība, jo tā ir saistīta ar pieejamās informācijas nepilnību un nepilnīgumu. Matemātiskās modelēšanas izmantošana ļauj samazināt vadības lēmumu riskantumu.

Galvenais ekonomikas mērķis- nodrošināt sabiedrību ar patēriņa precēm. Ekonomikā ir stabili kvantitatīvie modeļi, tāpēc ir iespējams to formalizēts matemātiskais apraksts.

Objekts apgūstot disciplīnu - ekonomiku un tās nodaļas.

Priekšmets - ekonomisko objektu matemātiskie modeļi.

Metode - ekonomikas kā sarežģītas dinamiskas sistēmas sistēmanalīze.

Modelis - tas ir objekts, kas aizstāj oriģinālu, atspoguļo svarīgākās oriģināla pazīmes un īpašības šim pētījumam.

Modeli, kas ir matemātisko attiecību kopa, sauc par matemātisko.

SIMULĀCIJAS ELEMENTI

Sistēma ir savstarpēji saistītu elementu kopums, kas kopīgi īsteno noteiktus mērķus.

Supersistēma - vide, kas ieskauj sistēmu, kurā sistēma darbojas.

Apakšsistēma - elementu apakškopa, kas īsteno sistēmas mērķiem atbilstošus mērķus (apakšsistēma var īstenot daļu no sistēmas mērķiem).

Ekonomiskā sistēma: sadala resursus, ražo preces, izplata preces un uzkrāj.

Tautsaimniecības virssistēma- daba, pasaules ekonomika un sabiedrību.

Tautsaimniecības galvenās apakšsistēmas- ražošana un finanšu kredīts.

EKONOMIKAS KĀ SIMULĀCIJAS OBJEKTA ĪPAŠĪBAS

Ekonomikā tehniskajiem līdzīgi modeļi nav iespējami, jo uz šīs kopijas nav iespējams uzbūvēt precīzu ekonomikas kopiju un izstrādāt ekonomiskās politikas variantus.

Eksperimentēšana ekonomikā ir ierobežota, jo visas tās daļas ir cieši saistītas viena ar otru.

Tiešiem eksperimentiem ar ekonomiku ir gan pozitīvas, gan negatīvas puses.

Pozitīvā puse- uzreiz ir redzami īstenotās ekonomiskās politikas īstermiņa rezultāti.

Negatīvā puse- nav iespējams tieši paredzēt pieņemto lēmumu vidējā un ilgtermiņa sekas.

Tādējādi, lai izstrādātu pareizus ekonomiskos lēmumus, ir jāņem vērā gan visa pagātnes pieredze, gan rezultāti, kas iegūti aprēķinos, izmantojot matemātiskos modeļus, kas ir adekvāti konkrētajai ekonomiskajai situācijai.

Matemātisko modeļu izstrāde ir darbietilpīga, taču ļoti daudzsološa. Tādējādi Keinsa modelis, kas atspoguļo tirgus ekonomikas spēju pielāgoties traucējošajām ietekmēm, tika veidots 1929.–1933. gada krīzes iespaidā. Tomēr šī modeļa pielietojums pēckara krīzes pārvarēšanai Vācijā un Japānā bija ļoti veiksmīgs un tika saukts par "ekonomisko brīnumu".

SKATĒSIM EKONOMIKAS STRUKTŪRU PAR MATEMĀTISKĀS MODELĒŠANAS OBJEKTU

Ekonomika ir sarežģīta sistēma, kas sastāv no ražošanas un neražojošām (finanšu) šūnām (ekonomiskajām vienībām), kas atrodas ražošanas, tehnoloģiskās un (vai) organizatoriskās un ekonomiskās attiecībās viena ar otru.

Saistībā ar ekonomisko sistēmu katram sabiedrības loceklim ir divējāda loma: no vienas puses, kā patērētājam un, no otras puses, kā darba ņēmējam.

Papildus darbaspēkam ir arī materiālie resursi Dabas resursi un ražošanas līdzekļi

Visas materiālās ražošanas nozares rada bruto iekšzemes produkts(IKP).

AT dabisks-īsts IKP forma - tie ir darba un patēriņa preču līdzekļi,

Vērtības formā - pamatlīdzekļu izbeigšanas atlīdzības fonds (amortizācijas fonds) un jaunradītās vērtības (nacionālais ienākums).

IKP veidošanas procesā tiek ražots un atkārtoti patērēts starpprodukts.

Autors taustāms Starpprodukta sastāvs ir darba objekti, ko izmanto kārtējam ražošanas patēriņam, to vērtība pilnībā tiek pārnesta uz IKP iekļauto darbaspēka līdzekļu vai preču vērtību.

MATEMĀTIKAS IZMANTOŠANA EKONOMIKĀ Ļauj:

1. izcelt un formāli aprakstīt svarīgākās ekonomisko mainīgo un objektu attiecības;

2. iegūt jaunas zināšanas par objektu;

3. novērtēt faktoru atkarību veidu un mainīgo parametrus, izdarīt secinājumus.

KAS IR EKONOMISKAIS UN MATEMĀTISKAIS MODELIS?

Šis ir vienkāršots formāls ekonomisko parādību apraksts.

Ekonomiskā objekta matemātiskais modelis ir tā attēlojums vienādojumu kopas, nevienādību, loģisko sakarību, grafiku veidā.

Modeļi ļauj identificēt saimnieciskā objekta funkcionēšanas pazīmes un, pamatojoties uz to, prognozēt objekta uzvedību nākotnē, mainoties parametriem.

MODEĻU BŪVES POSMI:

1. formulēts mācību priekšmets un mērķi;

2. ekonomiskajā sistēmā izšķir šim mērķim atbilstošus strukturālos vai funkcionālos elementus;

3. tiek atklātas šo elementu svarīgākās kvalitatīvās īpašības;

4. verbāli, kvalitatīvi apraksta attiecības starp elementiem;

5. saimnieciskā objekta pazīmēm tiek ieviesti simboliskie apzīmējumi un formulētas attiecības starp tiem;

6. pēc modeļa tiek veikti aprēķini un analizēti iegūtie rezultāti;

MODEĻU STRUKTŪRA:

Lai izveidotu modeli, ir nepieciešams definēt eksogēnos un endogēnos mainīgos un parametrus.

eksogēni mainīgie– ir iestatīti ārpus modeļa, t.i. zināms aprēķina laikā.

endogēnie mainīgie– tiek noteikti aprēķinu gaitā pēc modeļa.

Iespējas ir vienādojumu koeficienti.

EKONOMISKO UN MATEMĀTISKO MODEĻU NODARBĪBAS

Ekonomiskie un matemātiskie modeļi ir sadalīti šādās klasēs:

1. Pēc vispārinājuma līmeņa

a. Makroekonomikas - raksturo ekonomiku kopumā, sasaista apkopotos rādītājus: IKP, patēriņu, investīcijas, nodarbinātību. Makromodeļi atspoguļo visa darbību un attīstību ekonomikas sistēma vai tās pietiekami lielas apakšsistēmas. Makromodeļos ekonomiskās šūnas tiek uzskatītas par nedalāmām.

b. Mikroekonomika - raksturo ekonomikas strukturālo un funkcionālo komponentu mijiedarbību. Mikromodeļi - saimniecisko vienību un to apvienību funkcionēšana. Mikromodeļos ekonomisko vienību var uzskatīt par sarežģītu sistēmu.

2. Pēc abstrakcijas līmeņa

a. Teorētiskais - ļauj izpētīt ekonomikas vispārējās īpašības, atvasinot no formālām premisām. Izmanto, lai pētītu ekonomikas un tās elementu vispārīgās īpašības (piedāvājuma un pieprasījuma modeļi)

b. Lietišķais - dod iespēju izvērtēt konkrēta saimnieciskā objekta funkcionēšanas parametrus un izstrādāt ieteikumus lēmumu pieņemšanai. Izmanto, lai novērtētu konkrētu saimniecisko objektu parametrus. Tas ietver ekonometriskos modeļus, kas izmanto matemātiskās statistikas metodes.

3. Līdzsvara un izaugsmes modeļi

a. Līdzsvars - aprakstošie (aprakstošie) modeļi. Tie apraksta tādu ekonomikas stāvokli, kad visu spēku rezultāts, kas cenšas izvest ekonomiku no šī stāvokļa, ir vienāds ar nulli. Piemērs ir Ļeontjeva modelis (ievade-izeja),

b. Izaugsmes modeļi ir paredzēti, lai noteiktu, kā ekonomikai jāattīstās saskaņā ar noteiktiem kritērijiem. Piemērs — Solovs, Samuelsona-Hiksa modelis

4. Ņemot vērā laika faktoru.

a. Statisks - apraksta objekta stāvokli noteiktā brīdī vai laika periodā.

b. Dinamisks — iekļauj mainīgo lielumu attiecības laika gaitā. Parasti izmanto diferenciālvienādojumu aparātu.

5. Ņemot vērā nejaušības faktoru.

a. Deterministisks - nozīmē stingras funkcionālās attiecības starp modeļa mainīgajiem.

b. Stohastiskais - ļauj nejauši ietekmēt indikatorus un izmantot varbūtības teoriju un matemātisko statistiku.

TESTA JAUTĀJUMI

1. Kas ir ekonomiskā un matemātiskā modelēšana? Viņa vieta iekšā ekonomiskā analīze un prognozēšana.

2. Modelēšanas posmi. modeļa faktori.

3. Ekonomisko un matemātisko modeļu klases.

FEDERĀLĀ IZGLĪTĪBAS AĢENTŪRA

VALSTS TEHNISKĀ UNIVERSITĀTE

__________________________________________________________________

Informācijas sistēmu katedra

MATEMĀTISKĀ EKONOMIKA

Lekciju piezīmes

Specialitātes trešā kursa studentiem

"Lietišķā informātika (ekonomikā)"

Tvera 2009

1. Vērtēšanas metodes investīciju projektiem

Šobrīd valstīs ar attīstītu tirgus ekonomiku, analizējot investīciju projektus, tās ir sākušas plaši izmantot diskontēšanas paņēmienu, kas balstīts uz salikto procentu loģiku. Tāpēc iekšā šajā sadaļā ir dota šo metožu izmantošanas būtība un priekšrocības.

^ 1.1. Pašreizējās neto vērtības metode

Neto pašreizējā vērtība tiek aprēķināta kā starpība
vienā brīdī diskontētas ienākumu un izdevumu plūsmas
pēc projekta:

kur CF INt - naudas ieplūde periodā t;

CF OFt - naudas aizplūde periodā t;

R - diskonta likme;

N - projekta dzīves cikls.

Gadījumos, kad ieguldījums ir vienreizējs ieguldījums sākotnējā periodā, NPV aprēķina formula izskatīsies šādi:

kur C 0 - kapitālieguldījumi nulles periodā.

Šī kritērija izmantošana lēmumu pieņemšanā ir pavisam vienkārša. Pozitīva NPV vērtība norāda ienākumu summu, ko investors saņems, pārsniedzot nepieciešamo līmeni. Gadījumā, ja NPV ir vienāda ar nulli, ieguldītājs ne tikai atdod savu kapitālu, bet arī palielina to par diskonta likmes noteikto summu. Rezultātā iegūtais negatīvais NPV norāda, ka projekts ir jānoraida.

Jāņem vērā, ka NPV laika gaitā ir aditīvs. Šis īpašums ļauj apkopot dažādu projektu neto pašreizējās vērtības, kas ir ļoti svarīgi, analizējot investīciju portfeļa optimālumu.

^ 1.2. Investīciju atdeves indeksa aprēķināšanas metode

Rentabilitātes indekss ir diskontētās peļņas un projekta izmaksu attiecība. Tas ir, attiecībā uz, piemēram, vienreizējiem ieguldījumiem, aprēķins tiek veikts pēc formulas:

Gadījumā, ja PI vērtība >1, projekts ir rentabls. Ja PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

Šī rādītāja priekšrocība salīdzinājumā ar NPV rādītāju ir tā, ka tas ir relatīvs. Tāpēc tas ir ērti lietojams, kad nepieciešams izvēlēties vienu projektu no vairākiem alternatīviem ar aptuveni vienādām NPV vērtībām, kā arī veidojot investīciju portfeli ar maksimālo kopējo NPV vērtību.

Šāds uzdevums rodas, ja ir vairāki pievilcīgi investīciju projekti, no kuriem izvēlēties, bet ierobežoto finanšu līdzekļu dēļ investors nevar piedalīties visos projektos vienlaikus. Pēc tam katram projektam tiek aprēķināts PI un projekti tiek sakārtoti PI dilstošā secībā. Investīciju portfelī ir pirmie m-projekti, kurus kopumā var pilnībā finansēt.

Ja nākamais projekts ļaujas sadalīšanai, tad tas tiek iekļauts arī portfelī tajā tā daļā, kuru var finansēt.

^ 1.3. Ieguldījuma atdeves likmes aprēķināšanas metode

Atdeves likme (iekšējā atdeves likme) ir procentu likmes vērtība, pie kuras projekta neto pašreizējā vērtība ir nulle:

kur IRR ir atdeves likme (iekšējā atdeves likme).

IRR vērtība parāda maksimāli pieļaujamo relatīvo izmaksu līmeni, ko vienā vai otrā veidā var saistīt ar attiecīgo projektu. Piemēram, ja projekts tiek pilnībā finansēts no aizdevuma, tad IRR vērtība parādīs bankas procentu likmes augšējo robežu, kuras pārsniegšana padarīs projektu nerentablu.

Lai noteiktu IRR, izmanto aprēķinu vai aprēķinu-grafiskās metodes. Pirmajā gadījumā gada naudas plūsmas (ņemot vērā nepieciešamos kapitālieguldījumus) tiek diskontētas ar dažādām izmēģinājuma diskonta likmēm ar soli pa vienam procentam. Tādējādi tiks iegūta atbilstošo pašreizējo neto vērtību sērija, kuras mazākā pozitīvā vērtība norādīs precīzu vērā ņemamo atdeves likmi.

Aprēķinu un grafiskās metodes izmantošana ir saistīta ar faktu, ka koordinātu sistēmā atdeves rādītāji tiek attēloti pa vertikālo asi, bet šodienas neto vērtības tiek attēlotas pa horizontālo asi. Pēc tam tiek aprēķinātas divas NPV vērtības, kas atbilst jebkurām divām atdeves likmēm. Starp šiem diviem punktiem tiek novilkta taisna līnija, kuras krustošanās punkts ar vertikālo asi ir aprēķinātā iekšējā atdeves likme. Tomēr jāņem vērā, ka iegūtā vērtība ir jāpārbauda uz nulli un, ja nepieciešams, jāveic korekcija.

^ 1.4. Diskontētā atmaksāšanās perioda noteikšanas metode

Diskontētais atmaksāšanās periods ir laika periods, kurā ieguldītājs pilnībā atmaksā savas sākotnējās izmaksas, vienlaikus nodrošinot nepieciešamo rentabilitātes līmeni:

kur T ir diskontētais atmaksāšanās periods;

PV ir ieguldījuma pašreizējā vērtība.

Šī metode ir viena no vienkāršākajām un visplašāk izmantotajām, taču parasti tiek izmantota papildu informācijas iegūšanai par projektu gadījumos, kad galvenais, lai ieguldījums atmaksātos pēc iespējas ātrāk. Turklāt šī metode ir ērta arī, analizējot projektus ar augstu riska pakāpi, jo, jo īsāks atmaksāšanās periods, jo mazāk riskants ir projekts.

^ 2. Investīciju projektu vērtēšanas metožu pielietojuma iezīmes

Iepriekš aprakstītās metodes kopumā ir godīgas, analizējot neatkarīgus investīciju projektus. Tas ir, šo metožu kritēriji tikai tad nebūs pretrunā viens ar otru.

Analizējot konkurējošus projektus, rodas cita situācija, kuras apsvēršanas nozīme ir saistīta ar vēlmi palielināt konkurenci starp uzņēmumiem, lai samazinātu projektu izmaksas, izmantojot uzņēmumu iekšējās rezerves. Turklāt šāda situācija var rasties smagu finansiālu ierobežojumu gadījumā.

Apsveriet divus projektus, kas konkurē viens ar otru. Aprēķināt projektu neto pašreizējo vērtību, kā arī to iekšējo atdeves likmi, ja diskonta likme ir 11%.

1. tabula

PROJEKTS	СF pēc gadiem (miljoni rubļu)					NPV pie r=11%	IRR
PROJEKTS	0	1	2	3	4	NPV pie r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

Kā redzams no 1. tabulas, X1 projekta NPV būs 33,5 miljoni rubļu, kas ir nepārprotami labāks par X2 projekta NPV - 22,4 miljoni rubļu. Tomēr, ja mēs koncentrējamies uz iekšējo atdeves likmi, tad priekšroka jādod X2 projektam ar IRR = 35%, salīdzinot ar 26,7% X1 projektam. Tādējādi NPV un IRR kritēriji ir pretrunā viens ar otru, neskatoties uz to, ka abas metodes ir balstītas uz vienu un to pašu formulu.

Radusies problēma ir viegli atrisināma, ja sīkāk aplūkojam IRR kritērija būtību, kura aprēķins paredz iespēju reinvestēt projekta starpposma ienākumus, nodrošinot atdevi, kas vienāda ar IRR. Bet vai ir reāli nodrošināt šādu atdevi, ja atdeve no reinvestīcijām ir mazāka par IRR? Kā parādīs turpmāka piemēra apskate, nē.

Aprēķināsim investora ienākumu absolūto vērtību ceturtā gada beigās jeb, citiem vārdiem sakot, projektu nākotnes vērtību (nākotnes vērtību) ar nosacījumu, ka reinvestīciju likme ir 11%:

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0,11) \u003d 126,65 miljoni rubļu,

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0,11) + 15 * (1 + 0,11) 2 + 40 * (1 + 0,11) 3 \u003d 109,84 miljoni rubļu.

Noteiksim šīs operācijas rentabilitāti, pamatojoties uz šādu atkarību:

Vairāki pētnieki, ņemot vērā IRR kritērija nepilnības, ieteica tā vietā izmantot citu kritēriju - MIRR (modificēts IRR). MIRR ir sagaidāmā atdeve ar nosacījumu, ka visi projekta starpposma ienākumi tiek reinvestēti ar noteiktu atdeves likmi.

2. tabula

Kā redzams 2. tabulā, MIRR kritērija izmantošana novērš pretrunu starp projekta īstenošanas rezultāta absolūtajiem un relatīvajiem rādītājiem. Tagad jautājums ir noņemts: priekšroka jādod X1 projektam. Turklāt turpmāk, salīdzinot divus konkurējošus projektus, par labāko kritēriju būtu jāuzskata NPV.

Dotie piemēri tika balstīti uz pretrunu starp NPV un IRR kritērijiem, analizējot projektus ar vienādu kapitālieguldījumu apjomu. Tāpēc ir jāņem vērā arī konkurējošo projektu ar atšķirīgu investīciju apjomu analīzes piemērs.

3. tabula

PROJEKTS	СF pēc gadiem (miljoni rubļu)					NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
PROJEKTS	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

3. tabulā sniegto datu analīze parāda, ka IRR un MIRR kritēriji norāda uz projektu X3, savukārt NPV kritērijs, kas iepriekšējā piemērā tika uzskatīts par galveno, nepārprotami ir X2 projekta pusē. Tas ir, šajā situācijā radās nesamērīgu projektu problēma (mēroga problēma). Tāpēc galīgo lēmumu šeit var pieņemt tikai pēc iespējamās atšķirības starp CFo (X3) un CFo (X2) analīzes. Mūsu piemērā šī starpība ir 45 miljoni rubļu.

Pieņemsim, ka mums ir iespēja ieguldīt šos līdzekļus šādā veidā:

4. tabula

PROJEKTS	СF pēc gadiem (miljoni rubļu)					NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
PROJEKTS	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

Tagad ir jānoskaidro, kam ir labāk – X3 un X4 projektiem vai X2 projektam?

5. tabula

PROJEKTS	СF pēc gadiem (miljoni rubļu)					NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
PROJEKTS	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

Ņemot vērā 5. tabulā atspoguļotos rezultātus, kļūst pilnīgi skaidrs, ka investors noraidīs X2 projektu par labu divu projektu X3 un X4 īstenošanai. Tajā pašā laikā jāatzīmē, ka galīgā izvēle joprojām būs X1 projekts:

6. tabula

PROJEKTS	СF pēc gadiem (miljoni rubļu)					NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
PROJEKTS	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	SPOGULIS (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

Taču var būt situācijas, kad, izņemot X3 un X4 projektus, vairs nav projektu ar pozitīvu NPV. Šajā gadījumā ir jākoncentrējas nevis uz atdeves likmi, bet gan uz NPV.

Jāpiebilst, ka mēroga problēma var rasties arī NPV – PI gadījumā. Šajā gadījumā risinājuma metode būs līdzīga.

Tādējādi varam izdarīt šādu secinājumu: investīciju projektus vēlams analizēt ar vairākām metodēm vienlaikus, kas ļaus iegūt par tiem papildus svarīgu informāciju.

^ 3. Inflācijas uzskaite projektu analīzē

Inflācijas ietekmi var ņemt vērā, koriģējot vai nu nākotnes ieņēmumus, vai tās indeksa diskonta likmi. Šajā gadījumā ieteicams izmantot šādu atkarību:

kur r nom ir nominālā procentu likme;

R real - reālā procentu likme;

λ ir vispārējais inflācijas līmenis.

Mazām vērtībām r un λ formulu (7) var uzrakstīt šādi:

R nom ≈ r eal + λ (8)

Kā diskonta likmi var izmantot gan nominālās, gan reālās procentu likmes. Izvēle ir atkarīga no tā, kā tiek mērīta projekta naudas plūsma. Ja naudas plūsmu uzrāda reālā izteiksmē (salīdzināmās cenās), tad diskontēšanai jāizmanto reālā procentu likme.

Taču, izmantojot reālās procentu likmes un aprēķinot naudas plūsmas salīdzināmās cenās, strukturālā inflācija nav iespējama. Šādos gadījumos aprēķins jāveic pašreizējās cenās:

Tomēr pēdējā gadījumā ir nepieciešama spēja paredzēt cenu pieaugumu.

^ 4. Riska uzskaite viena projekta analīzē

Uz risku balstīta viena projekta analīze tiek veikta tikai tad, ja investīciju projekts ir neatkarīgs. Šajā gadījumā ir pilnīgi pietiekami izmantot divus rādītājus: sagaidāmo atdevi un atdeves standarta novirzi (RMS), kas pilnībā nosaka normālo sadalījumu.

Paredzamo atdevi aprēķina šādi:

(11)

kur R i - i-tā scenārija ienesīgums;

P i - notikumu attīstības varbūtība pēc i-tā varianta;

N ir izskatīto iespēju skaits.

Tādējādi ir skaidrs, ka sagaidāmā atdeve ir visticamākā projekta atdeve, savukārt standarta novirze, kas mēra sagaidāmās atdeves dispersiju, ir projekta riska rādītājs:

Salīdzinot riskus aktīviem ar atšķirīgu paredzamo atdevi, ieteicams izmantot variācijas koeficientu (tas ir, relatīvās dispersijas mēru):

(13)

Acīmredzot, jo augstāks SD un CV, jo lielāks risks. Kā piemēru ņemiet vērā nejaušās izlases datus, kas parādīti 7. tabulā:

7. tabula

Projekts	R		CV
X1	12,5%	3,12	0,25
X2	11,0%	3,32	0,30
x3	12,2%	2,68	0,22

Šajā piemērā X2 projekts ir vismazāk ienesīgs un vienlaikus riskantākais, tāpēc tas nekavējoties ir jānoraida, un tālākā izvēle būs atkarīga no investora attieksmes pret risku. Ja tas būs negatīvs, tiks īstenots XZ projekts. Ja investors nevēlas riskēt, priekšroka tiks dota XI.

Prakse liecina, ka investori pašvaldības amatpersonu līmenī cenšas izvēlēties minimālo risku. Tādējādi mūsu gadījumā KhZ projekts tiks pieņemts investīcijām.

^ 5. Riska uzskaite portfeļa analīzē

Parasti, lai samazinātu nesistemātisko riska daļu, tiek izmantota diversifikācija, kuras pamatā ir efektīva portfeļa izveide, analizējot tā aktīvu korelāciju. Tajā pašā laikā jāņem vērā, ka katrs jauns ieguldījums šeit ir jāapsver, ņemot vērā pašreizējo portfeli.

Apskatīsim trīs projektu portfeļa riska aprēķināšanas metodiku, kā piemēru izmantojot 7. tabulā sniegtos datus, kā arī ar nosacījumu, ka katrs projekts saņems trešo daļu no ieguldītās summas.

Portfeļa atdeve tiks noteikta šādi:

(14)

Kur R k ir k-tā projekta paredzamā rentabilitāte;

X k - k-tajā projektā ieguldīto līdzekļu daļa;

M - projektu skaits portfelī.

Mūsu piemērā:

R portfolio = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

Mūsu piemērā:

cov 12 = 7,34 un cov 13 = – 8,12.

Tādējādi ir acīmredzams, ka projektu X1 un X2 atdeves mainās vienā virzienā, bet projektu X1 un X3, kā arī X2 un X3 atdeves - pretējā virzienā. Tomēr, tā kā kovariācijas absolūto vērtību ir grūti interpretēt, rādītāju savstarpējās atkarības pakāpi aprēķina, izmantojot korelācijas koeficientu:

Pie r = +1 rādītāji laika gaitā mainās tieši tādā pašā veidā, pie r = -1 ir pilnīgi negatīva korelācija, nulle norāda uz sakarības neesamību.

Šajā piemērā:

r 12 = 0,71, r 13 = -0,96 un r 23 = -0,6.

Acīmredzot, lai samazinātu risku, vispiemērotākā būtu projektu X1 un X3 portfeļa kombinācija. Tomēr tajā pašā laikā ir nepieciešams aprēķināt pašu portfeļa risku, ņemot vērā korelāciju starp projektiem:

Aprēķiniet portfeļa risku (X1, X3) ar nosacījumu par vienādu ieguldījumu kapitālā:

Tādējādi mūsu portfeļa risks ir ievērojami zemāks par to veidojošo projektu riskiem, un pie r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

Vairāku projektu portfeļa sastādīšanas metodika ir tāda pati kā divu aktīvu portfeļa sastādīšanai.

No visa portfeļu kopuma, ko norāda apgabals 1. attēlā, ir jāizvēlas tie portfeļi, kas atrodas uz AB līnijas - tie ir tie, kas nodrošina minimālo risku ar augstāko paredzamo atdevi. Šajā gadījumā konkrētā izvēle starp tiem ir atkarīga no mūsu attieksmes pret risku. Grafiski izvēle starp risku un atdevi tiek izteikta ar vienaldzības līknēm, kuru unikāls kopums pastāv katram indivīdam, ņemot vērā šī indivīda izvēli attiecībā uz risku un atdevi.

1. att. Optimālā portfeļa izvēles problēma.

Taisnu līniju no bezriska aktīva ienesīguma punkta līdz iespējamās portfeļa līknes AB tangences punktam sauc par kapitāla tirgus līniju (CML) un atspoguļo izvēli riska-atdeves sistēmā. Punkts C attēlā. 1 tādējādi atspoguļo tirgus portfeļa risku un atdevi. Augstāko lietderības līmeni investors sasniedz vietā, kur viņa vienaldzības līkne pret risku un atdevi skar kapitāla tirgus līniju. Ja investors dod priekšroku noteiktībai, tad šis punkts atradīsies pa kreisi no tirgus portfeļa (pa kreisi no C); investors iegulda gan bezriska, gan riskantos aktīvos, un rezultātā viņa portfelim ir zems risks un zema atdeve. Ja ieguldītājs vairāk izvairās no riska, saskares punkts būs pa labi no tirgus portfeļa (pa labi no C); līdzekļi tiek ieguldīti riskantākos aktīvos un portfelim ir lielāks risks un lielāka atdeve.

Problēmu atrast optimālu portfeli, kas sastāv no daudziem aktīviem, principā var atrisināt ar atlases procedūru – mēs meklējam portfeli ar augstāko paredzamo atdevi noteiktam riska līmenim. Taču praksē kapitāla sadales problēmu ir lietderīgi atrisināt, izmantojot lineārās programmēšanas kvadrātisko versiju.

Noteiksim i-tā aktīva īpatsvaru portfelī pēc izmaksām:

kur CF OFt max ir maksimālais pieļaujamais investīciju programmas lielums periodam t.

Apsveriet kopsavilkuma riska indikatoru:

Mērķa funkcija (20), kas samazina gala portfeļa risku, kur kā kritērijs dalībai portfelī darbojas binārais mainīgais X i, kura vienības vērtība norāda uz i-tā projekta ienākšanu portfelī, un nulles vērtība norāda uz i-tā projekta atteikumu investēt, izskatās šādi:

ar ierobežojumiem:

kur NPV min ir portfeļa minimālās pieņemamās neto pašreizējās vērtības lielums;

T n - investīciju programmas sākotnējais periods;

T līdz - investīciju programmas beigu periods;

V k - konkurējošo projektu vektors;

V - konkurējošo projektu vektoru kopa;

N l - iepriekšējā portfeļa projektu skaits, uz kuriem T pārsniedz sastādāmā portfeļa T n.

Acīmredzot, aprēķinot mērķa funkciju (20), tiek izmantota tikai tā dispersijas-kovariācijas matricas (19) daļa, kas atrodas uz galvenās diagonāles un zem tās, ko izraisa ierobežojošā nosacījuma piemērošana ligzdotajā cilpā. kolonnās, savukārt, tā kā katram iespējamajam projektu pārim ir divas kovariācijas, ligzdotās cilpas vērtībām tiek ieviests dubultošanas koeficients.

Tādējādi optimizācijas problēma ir noteikt, kuri projekti būtu jāpieņem investīcijām, lai paredzamo ienākumu apjoms un riska līmenis optimāli atbilstu investora mērķiem, kurus nosaka mērķa funkcijas virziens un kopums. ierobežojumi:

1. Risks, ko mēra ar portfeļa dispersiju (RMS), ir minimizēts.

2. Ienākumi no portfeļa, kas vienādi ar akceptēto projektu sagaidāmās neto pašreizējās vērtības aditīvo rādītāju, nedrīkst būt mazāki par nepieciešamo summu, kas dota ar vērtību, kas diskontēta uz sākotnējo ieguldījumu periodu.

3. Kopējais ikgadējo investīciju apjoms nevar pārsniegt pieejamo (piešķirto) līdzekļu limitus, kas noteikti noteiktam laika periodam atsevišķi katram investīciju programmas gadam.

4. Portfelī var iekļaut tikai vienu no projektiem, kas pārstāv vienu un to pašu konkurējošo projektu grupu.

5. Jauna portfeļa sastādīšana tiek veikta, ņemot vērā to iepriekšējā portfeļa projektu obligātu iekļaušanu tā sastāvā, kuru ieguldījumu programmas izpildes termiņš pārsniedz jaunā portfeļa ieguldījumu programmas uzsākšanas periodu. .

6. Aplūkotie projekti nav pakļauti graušanai.

Aprakstītā problēma ietver vairākus ierobežojumus nevienlīdzības veidā, kas galvenokārt nosaka ierobežojumus ieguldījumiem noteiktās jomās. Pretējā gadījumā nav iespējams garantēt, ka iegūtais risinājums būs uz efektivitātes robežas. To darot, mēs varam iegūt riskantāku portfeli, taču mums nevajadzēs izmantot visu savu naudu un/vai mēs varēsim nopelnīt lielāku atdevi.

Portfeļa iegūto raksturlielumu aprēķins un izdošana:

Daudzi atlasītie projekti:

Paredzamā portfeļa neto pašreizējā vērtība:

Paredzamā portfeļa atdeve:

Projekta portfeļa risks:

Ietaupot finanšu resursus:

Jēdziena "risks" definīcijas ir dažādas, tādēļ, apkopojot iepriekš minēto, ar risku sapratīsim situāciju, kad ir vairāki iespējamie noteiktu darbību rezultāti, kā arī ir nepieciešami dati no pagātnes periodiem, kas ļauj Aprēķiniet dažas atkarības, lai prognozētu iespējamos nākotnes rezultātus.

V. Šārpa izstrādātais CAPM modelis (capital asset pricing model), ko plaši izmanto portfeļu sastādīšanai, izriet no tā, ka ir svarīgi ņemt vērā tikai katra atsevišķa aktīva sistemātisko risku. Tomēr G. Markovica darbi pierādīja, cik svarīgi ir ņemt vērā kopējo risku kopumā. Tāpēc iepriekšējais pamatojums bija balstīts tieši uz šo pieņēmumu.

Sistemātisku risku izraisa tādi faktori kā inflācija. ekonomiskā krīze, citi vispārējie tirgus faktori.

Nesistemātiska riska klātbūtne ir saistīta ar nejaušiem notikumiem, kas ietekmē konkrētus aktīvus vai uzņēmumus.

Bibliogrāfiskais saraksts

Bards V.S. Finanšu un investīciju komplekss: teorija un prakse Krievijas ekonomikas reformēšanas kontekstā. - M: Finanses un statistika, 1998. - 304 lpp.
Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Investīciju analīze: Mācību grāmata studentu augstskolām, apmācība ekonomikā; Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. - M.: UNITI, 2000. - 286 lpp.
Bogatin Yu.V., Shvandar V.A. Uzņēmējdarbības un investīciju efektivitātes novērtējums: Mācību grāmata studentu augstskolām, apmācība ekonomikā speciālā .. - M: Finanses, UNITY-DANA, 1999. - 256lpp.
Bočarovs V.V. Investīciju vadība: mācību grāmata. - Sanktpēterburga un citi: Pēteris, 2000. - 152lpp. - Īss kurss.
Brodskis M.N., Brodskis G.M. Tiesības un ekonomika: investīciju konsultācijas; Sanktpēterburgas Valsts ekonomikas un finanšu universitāte. - SPb., 1999. - 488s.
Vakhrin P.I. Investīciju organizēšana un finansēšana: (Praktisko uzdevumu un konkrēto situāciju apkopojums): Mācību grāmata. - M.: Inform.-ieviešanas centrs "Mārketings", 1999. - 149lpp.
Igošins N.V. Investīcijas.Vadības un finansēšanas organizācija: Mācību grāmata studentu augstskolām, apmācības ekonomikā spec.. - M: Finanses, UNITI, 1999. - 414 lpp.
Kovaļovs V.V. Finanšu analīze Kapitāla vadība Investīciju izvēle Atskaišu analīze. - 2. izdevums, pārstrādāts un papildu .. - M .: Finanses un statistika, 1997. - 511s.
Koļemajevs V.A. Matemātiskā ekonomika. - M.: Finanses un statistika, 2003. - 206lpp.
Krushvits L. Finansēšana un investīcijas.Finanšu teorijas neoklasicisma pamati: Mācību grāmata augstskolām: Tulkots no vācu .. - Sanktpēterburga. un citi: Pēteris, 2000. - 381s. - Pamatkurss.
Limitovskis M.A. Investīciju un finanšu lēmumu novērtēšanas pamati. - 3. izdevums, papildu un pārskatīts .. - M .: DeKA, 1998. - 231s.
Uzņēmuma investīciju efektivitātes novērtējums: Metode.rekomendācijas org.-econ. daļa no tehnoloģiju studentu diplomprojekta. speciālists.; Valsts Tehniskās universitātes Ekonomikas un vadības katedra Producenti V.A.Nikoļskaja,A.G.Bokičeva. - Tvera, 2000. - 12s.
Salmanovs O.N. Matemātiskā ekonomika, izmantojot Mathcad un Excel. BHV-Petersburg, 2003. - 464 lpp.
Sergejevs I.V., Veretenņikova I.I. Investīciju organizēšana un finansēšana: Mācību grāmata augstskolu studentiem, kuri studē ekonomikā un speciālajās jomās; Sergejevs I.V., Veretennikova I.I. - M.: Finanses un statistika, 2000. - 271s.
Holts R.N., Bārnss S.B. Investīciju plānošana: [Pamācība]: Tulkots no angļu valodas.
Četikins E.M. Rūpniecisko investīciju finanšu analīze; Tautsaimniecības akadēmiķis Krievijas Federācijas valdības pakļautībā. - M.: Delo, 1998. - 255 lpp.
Sharp W.F., Aleksandrs G.D. Investīcijas: Tulkojums no angļu valodas; Sagatavots ar Nacionālā finanšu un vadošā personāla apmācības fonda finansiālu palīdzību Banku biznesa programmas ietvaros. - M.: INFRA-M, 1997. - 1024 lpp.

Programmatūras un informācijas atbalsts

Microsoft Office 2000: Microsoft Excel.
Monakhovs A.V. Ekonomiskās analīzes matemātiskās metodes. // www. Mans veikals. ru.
Koļemajevs V.A. Matemātiskā ekonomika.Mācību grāmata. // www. Hugahuga. ru.