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Option 1

Partie B

Tâche B1.Pour peindre les murs d'une surface totale de 175 m 2, il est prévu d'acheter de la peinture. Le volume et le coût des pots de peinture sont indiqués dans le tableau.

Quel montant minimum (en roubles) sera dépensé pour l'achat de la quantité de peinture requise, si sa consommation est de 0,2 l / m 2?

Solution.

Depuis le 1 m 2 prend 0,2 litre de peinture, puis 175 m 2 nécessiteront un volume de peinture égal à 175 0,2 \u003d 35 litres.

Ainsi, la tâche consiste à trouver le prix d'achat minimum pour 35 litres de peinture ou plus.

Déterminons le coût de 1 litre de peinture dans chacun des bidons.

Le prix d'un litre dans un bidon de 2,5 litres est de : 75 000 : 2,5 = 30 000 roubles, et le prix d'un litre dans un bidon de 10 litres est de 270 000 : 10 = 2 700 roubles.

Étant donné que la peinture est moins chère dans de grands bidons, il est conseillé de collecter 35 litres de peinture en utilisant uniquement de grands bidons. Cependant, vous ne pouvez pas obtenir exactement 35 litres à l'aide de grandes canettes, car chacune des canettes a un volume de 10 litres. Il y a deux options ici:

1. Nous achetons 4 pots de peinture de 10 litres chacun. En conséquence, nous avons 40 litres de peinture, ce qui dépasse les 35 litres dont nous avons besoin. Le prix de la peinture dans ce cas : 270 000 4 = 1 080 000 roubles.

2. Nous achetons 3 bidons de peinture de 10 litres et 2 bidons de peinture de 2,5 litres. En conséquence, nous avons exactement 35 litres de peinture. Prix ​​de la peinture dans ce cas : 3 270 000 + 2 75 000 = 0,960 000 roubles.

Étant donné que la deuxième option est moins chère que la première, le montant minimum requis pour acheter la bonne quantité de peinture est de 960 000 roubles.

Répondre: 960 000.

Avez-vous des questions ou des commentaires sur la solution au problème ? Demandez-les à l'auteur, Anton Lebedev.

Tâche B2.Trouver la somme des racines (racine, e c est-ce le seul) équations

Solution.

Tout d'abord, notez que la mise au carré des deux côtés de l'équation n'est pas une bonne idée dans cette tâche, car le résultat sera une équation du 4ème degré, qui en général ne peut pas être résolue.

Dans de telles situations, des solutions de contournement doivent être recherchées.

Commençons par définir l'équation ODZ :

L'équation résultante est équivalente au système :

Commenter.La première inégalité du système est nécessaire pour éviter l'apparition de racines supplémentaires : si l'on met simplement au carré les deux parties, alors les racines de l'équation s'ajouteront également aux racines de l'équation.

Donc, on résout l'équation à partir du système écrit :

Évidemment, seule la seconde des racines trouvées satisfait l'inégalité du système.

Ainsi, l'équation d'origine n'a qu'une seule racine, égale à 9.

Répondre: 9.

Tâche B3.Un cercle est inscrit dans un trapèze isocèle dont l'aire est . La somme de deux angles d'un trapèze est de 60°. Trouver le périmètre du trapèze.

Solution.

Soit ABCD est un trapèze donné.

Le trapèze étant isocèle, les angles à la base du trapèze sont égaux :

.

Par convention, la somme de deux angles d'un trapèze vaut 60°. Évidemment, on parle de deux angles aigus, puisque 60°< 90° , ce qui signifie que dans notre notation nous parlons des angles MAUVAIS et CDA . Puisqu'ils sont égaux et que leur somme est de 60°, alors chacun d'eux est égal à 30°.

Comme vous le savez, tous les trapèzes (et tous les trapèzes isocèles) ne peuvent pas s'inscrire dans un cercle, ce qui signifie que le fait qu'un cercle soit inscrit dans notre trapèze nous donne une information supplémentaire. Un cercle ne peut s'inscrire que dans un trapèze dont la somme des bases est égale à la somme des côtés. Dans notre cas, ce devrait être :

Le trapèze étant isocèle, alors AB=CD. Notons les côtés par X.

Ensuite on obtient

où MN - ligne médiane du trapèze.

Nous exprimons également la hauteur du trapèze VK en termes de X. Pour cela, considérons un triangle rectangle ABK.

.

Alors la somme des côtés vaut 2 x= 17, et le périmètre d'un trapèze est 34 (la somme des bases est égale à la somme des côtés).

Répondre: 34.

Tâche B4.Laisser être (x, y)- solution du système d'équations

Trouver la valeur d'une expression 5a-x.

Solution.

On transforme la seconde équation du système :

En tenant compte de la première équation, on obtient :

Calculez la valeur de l'expression :

Répondre: 23.

Tâche B5.Trouver la valeur d'une expression

Solution.

Commenter.Les problèmes les plus courants des candidats lors de la résolution de tels exemples sont l'incapacité de se débarrasser de l'irrationalité dans le dénominateur en multipliant par le conjugué et l'ignorance que l'ordre de calcul des racines successives n'a pas d'importance (par exemple,).

Répondre:-22.

Tâche B6.Trouver la somme des racines de l'équation.

Solution.

Avant de commencer la solution, on dit la phrase magique : "Le produit est égal à zéro si au moins un des facteurs est égal à zéro." Après cela, l'équation se décompose miraculeusement en un ensemble :

La première équation d'ensemble a une seule racine X = 81.

Transformons la seconde équation :

La solution supplémentaire est effectuée en utilisant un changement de variable :

On a

(les racines sont trouvées en utilisant le théorème inverse de Vieta).

La racine négative ne nous convient pas, on obtient donc

Cela signifie que l'équation originale a deux racines : 1 et 81.

Leur somme est 82.

Répondre: 82.

Tâche B7.Trouvez l'aire de la surface latérale d'une pyramide triangulaire régulière si la longueur de la bissectrice de sa base est égale et l'angle plat au sommet est égal à .

Solution.

Laissez SABC est une pyramide triangulaire régulière.

Triangle ABC - la base de la pyramide, et ce triangle est correct.

La bissectrice est aussi la hauteur du triangle ABC, donc

La surface latérale d'une pyramide régulière est S=SK· p,

où

- demi-périmètre de la base ;

Apothème.

Puis

S = 125 = 60 .

Répondre: 60.

Tâche B8.Trouver la somme des plus petites et des plus grandes solutions entières de l'inégalité

Solution.

En considérant que le logarithme est une fonction croissante si sa base est supérieure à 1 et décroissante si sa base est inférieure à 1, et aussi que l'expression du sous-logarithme doit être positive, on obtient :

La plus petite solution entière est -5 et la plus grande est 65. Leur somme est 60.

Répondre: 60.

Tâche B9.Trouver (en degrés) la somme des racines de l'équation 10sin5 X cos5 X+5sin10 X co18 X= 0 sur l'intervalle (110° ; 170° ).

Solution.

En utilisant la formule à double argument, on transforme le premier terme du côté gauche :

Puisque parmi toutes les racines trouvées, vous devez choisir celles qui se trouvent sur l'intervalle (110 °; 170 °), puis

Nous écrivons les racines correspondantes:

126° ; 144° ; 162°

130° ; 150°.

La somme des solutions trouvées est 712.

Répondre: 712.

Tâche B10.Trouver le produit des plus petites et des plus grandes solutions entières de l'inégalité

Solution.

Transformons l'inégalité d'origine :

L'inégalité qui en résulte peut être résolue, par exemple, par la méthode des intervalles. Pour ce faire, on trouve d'abord les racines de l'équation correspondante :

Les racines trouvées seront tracées sur l'axe numérique. Ces racines cassent l'expression (| X + 5| - 4)(|X- 3| - 1) sur des intervalles de constance de signe. Déterminons le signe de l'expression écrite sur chacun des intervalles en remplaçant n'importe quel point de l'intervalle donné dans l'expression. Par exemple, pour déterminer le signe de l'expression sur l'intervalle extrême droite, prenez le point X= 5 et on obtient que la valeur de l'expression à ce point est positive, ce qui signifie que l'expression sera positive sur tout l'intervalle.

Nous pouvons maintenant écrire la solution de l'inégalité (la zone correspondante est ombrée sur la figure):

.

Le plus petit entier de cette zone : X min = -8, et le plus grand entier X max = 3. Le produit de ces nombres est -8 3 = -24. Ce numéro doit être écrit dans la réponse.

Répondre:-24.

Tâche B11.Le point A se déplace le long du périmètre du triangle KMP. points K1 , M 1, P 1 mensonge sur les médianes du triangle KMP et divisez-les dans le rapport 11:3, en comptant à partir des sommets. Le long du périmètre du triangle K 1 M 1 P 1 point B se déplace à une vitesse cinq fois supérieure à la vitesse du point A. Combien de fois le point B fait-il le tour du périmètre du triangle K 1 M 1 P 1 pour le temps qu'il faut au point A pour faire deux fois le tour du périmètre du triangle KMP.

Solution.

Faisons un dessin pour la tâche. O est le point d'intersection des médianes du triangle d'origine.

Intuitivement, les triangles KMP Et K 1 M 1 P 1 devrait être similaire. Cependant, l'intuition ne suggère qu'un moyen de résoudre le problème, de sorte que la similitude de ces triangles doit encore être prouvée.

Pour prouver la similitude, considérons les triangles COM Et K 1 OM 1 .

MM' est la médiane du triangle KMP , donc , puisque les médianes d'un triangle sont divisées dans un rapport de 2 à 1, en partant du haut.

Il résulte de l'état du problème que , puisque le point M 1 divise la médiane de MM' par un rapport de 11 à 3, en partant du haut.

Puis

Attitude

.

De même, on peut montrer que

Outre, comme verticale.

Alors les triangles COM Et K 1 OM 1 sont similaires sur deux côtés et l'angle entre eux avec un coefficient de similarité .

Puis

De même

.

Cela signifie que les triangles KMP Et K 1 M 1 P 1 sont similaires avec un coefficient de similarité et un périmètre de triangle KMP fois le périmètre du triangle K 1 M 1 P 1 .

Puisque le point B se déplace à une vitesse 5 fois supérieure à la vitesse du point A le long d'un triangle dont le périmètre est une fois inférieur au périmètre du triangle KMR, puis pendant un tour du point A, le point B fait des tours, et pendant deux tours du point A, le point B fait 56 tours.

Répondre: 56.

Tâche B12.Volume d'un cuboïde ABCDA 1 B 1 C 1 ré 1 est égal à 1728. Le point P se trouve sur le bord latéral CC 1 pour que CP:PC 1 = 2:1. Par le point P, sommet ré et le milieu de la côte latérale AA 1, un plan de coupe est dessiné, qui divise le parallélépipède rectangle en deux parties. Trouvez le volume de la plus petite partie.

Solution.

Dessinez un parallélépipède dans le dessin et construisez la section décrite PDKEF. K- nervure centrale AA 1 .

Représentons sur le dessin les lignes selon lesquelles le plan de coupe coupe les plans des trois faces du parallélépipède. Points où le plan de coupe coupe des lignes BA, C.-B. Et BB 1 noté par Z, Q, S.

Corps SZBQ- une pyramide avec un triangle rectangle à sa base ZBQ . Cette pyramide comprend le volume de la partie inférieure du parallélépipède et les volumes de trois pyramides Seb 1 F, QPCD, ZKAD.

Pour trouver le volume de la partie inférieure du parallélépipède, on trouve les volumes des pyramides indiquées.

Pour la commodité des calculs, on note les côtés du parallélépipède par X, y Et z, alors le volume du parallélépipède V = xyz = 1728.

Outre,

.

Le problème est d'exprimer les dimensions de ces quatre pyramides en termes de X, y Et z.

Triangles CF 1 P Et DAK sont semblables dans deux angles (tous les côtés de ces triangles sont parallèles deux à deux).

Puis

.

Triangles PCD Et KA 1 E sont également similaires, donc

.

De la similitude des triangles SB 1 F et PC1 F suit :

.

Volume pyramidal Seb 1 Féquivaut à:

Pyramide QPCD comme une pyramide Seb 1 F avec coefficient de similarité :

.

Alors le volume de la pyramide QPCDéquivaut à:

pyramide similaire ZKAD comme une pyramide Seb 1 F avec coefficient de similarité

Alors le volume de la pyramide ZKADéquivaut à:

Enfin, la pyramide SZBQ comme une pyramide Seb 1 F avec coefficient de similarité

.

Alors le volume de la pyramide SZBQéquivaut à:

Le volume de la partie inférieure du parallélépipède :

Puis le volume de la partie supérieure :

Comme nous avons besoin d'un volume plus petit, la bonne réponse est 724.

Répondre: 724.

Les candidats du Lyceum of BSU peuvent se familiariser avec les options pour les examens d'entrée en 2019. Le but de ces options est de permettre à tout participant aux examens d'entrée au Lycée de l'Université d'État de Biélorussie de se faire une idée de la structure des options d'examen, des types de tâches et de leurs niveaux de complexité. Lors de l'examen des options 2019, il convient de garder à l'esprit que les tâches qui y sont incluses ne couvrent pas tous les éléments de contenu qui seront testés lors des examens d'entrée au Lyceum of BSU en 2020. En plus de cela, les tâches des examens d'entrée en 2020 seront établies conformément aux nouveaux programmes. Vous pouvez en savoir plus sur la structure des examens d'entrée en 2020 en étudiant les spécifications et les résolutions publiées sur le LMS du Lyceum of BSU.

L'achèvement des variantes des examens d'entrée en 2019 permettra aux candidats de développer une stratégie de préparation à l'admission au Lycée de BSU, de systématiser le matériel étudié, d'éviter d'éventuelles erreurs, ainsi que de consolider les connaissances et de se préparer efficacement aux examens d'entrée en 2020.

RIKZa a une spécification pour chaque sujet de la DH pour 2016. Il explique quelle sera la structure du test, combien de tâches de chaque niveau de difficulté sont dans le test et quel matériel de programme sera utilisé.

La photo est illustrative. Photo : Vadim Zamirovsky, TUT.BY

Ainsi, cette année, le test de langue russe comprendra 40 tâches: 30 - dans la partie A et 10 - dans la partie B. La plupart des tâches concerneront l'orthographe - 13, la ponctuation - 9 tâches, la moins pour la phonétique - une. Il y aura deux tâches pour le premier niveau de difficulté, quatre tâches pour le deuxième, quatre tâches pour les troisième et quatrième, et six tâches pour le cinquième, le plus difficile. Vous avez 120 minutes pour terminer le test.

Dans le test de mathématiques de cette année, il y a 8 tâches en géométrie (plus que l'année dernière), 11 tâches en équations et inégalités, quatre tâches chacune en nombres et calculs et fonctions. Le premier niveau n'aura que deux tâches, le deuxième - huit, et la plupart des tâches seront au troisième niveau - 14. Les quatrième et cinquième niveaux auront respectivement 4 et 2 tâches.

Alexandre Nikolaïevitch, professeur de mathématiques depuis 2007 dont les élèves sont des lauréats olympiques, des lycéens BSU et des étudiants BSU, estime qu'il est presque impossible de juger de la complexité d'un test à partir du cahier des charges.

Il y a peut-être plus de devoirs sur certains sujets cette année. Mais, à mon avis, ces informations n'affectent pas beaucoup la préparation du candidat. Il ne s'agit pas du nombre d'emplois. Une section d'un test de mathématiques peut contenir des éléments assez solides, mais cinq ou quatre ne sont pas très importants. Sans voir les tâches elles-mêmes, je m'abstiendrais de dire que les informations sur la spécification affecteront d'une manière ou d'une autre la formation des candidats.

Professeur de langue russe avec 15 ans d'expérience Lyudmila Grigorievna ne croit pas non plus que la spécification affecte d'une manière ou d'une autre le processus de préparation au DT: " Les règles restent les mêmes et il suffit de les connaître. Quelle proportion de tâches n'est pas si importante».

Rappelons que la Biélorussie a déjà approuvé. Les candidats passent le premier test le 13 juin en biélorusse et le 14 juin en russe.

25 juin— langue étrangère (anglais, allemand, français, espagnol, chinois) ;

Chaque test commence à 11h00. Date du jour de réserve - 5 juillet(Mardi). Le DT se tiendra à l'Université d'État biélorusse ce jour-là, vous pouvez vous y inscrire du 28 juin au 1er juillet.