เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ - Kolemaev V.A. Lectures - เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ - file mat เศรษฐศาสตร์ lectures.doc การบรรยายเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์

เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นวิทยาศาสตร์เชิงทฤษฎีและประยุกต์ ซึ่งเป็นวิชาที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุและกระบวนการทางเศรษฐศาสตร์และวิธีการสำหรับการศึกษา

การเกิดขึ้นของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์มีความเกี่ยวข้องอย่างไม่ต้องสงสัยกับความต้องการของเศรษฐกิจ ตัวอย่างเช่น จำเป็นต้องค้นหาว่าต้องหว่านเมล็ดพืชจำนวนเท่าใดเพื่อเลี้ยงดูครอบครัว วิธีการวัดพื้นที่หว่านและประเมินการเก็บเกี่ยวในอนาคต

ด้วยการพัฒนาการผลิตและความซับซ้อน ความต้องการของเศรษฐกิจในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ก็เพิ่มขึ้นเช่นกัน การผลิตสมัยใหม่เป็นงานที่สมดุลโดยเคร่งครัดของหลายองค์กร ซึ่งได้มาจากการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์จำนวนมาก งานนี้ถูกครอบครองโดยกองทัพนักเศรษฐศาสตร์ นักวางแผน และนักบัญชีจำนวนมาก และการคำนวณจะดำเนินการโดยคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์หลายพันเครื่อง ในบรรดางานดังกล่าว ได้แก่ การคำนวณแผนการผลิต และการกำหนดตำแหน่งที่ได้เปรียบที่สุดของสถานที่ก่อสร้าง และการเลือกเส้นทางการขนส่งที่ประหยัดที่สุด เป็นต้น เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ยังมีส่วนร่วมในคำอธิบายทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการของปรากฏการณ์ทางเศรษฐศาสตร์ที่เป็นที่รู้จักอยู่แล้ว การทดสอบสมมติฐานต่างๆ เกี่ยวกับระบบเศรษฐกิจที่อธิบายโดยความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง

ลองพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ สองตัวอย่างที่สาธิตการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อจุดประสงค์นี้

ให้อุปสงค์และอุปทานของสินค้าขึ้นอยู่กับราคา สำหรับดุลยภาพ ราคาตลาดจะต้องเป็นสินค้าที่จำหน่ายหมดและไม่มีส่วนเกิน:

. (1)

แต่ถ้าตัวอย่างเช่น ข้อเสนอมาล่าช้าในช่วงเวลาหนึ่ง ดังแสดงในรูปที่ 1 (โดยที่เส้นอุปสงค์และอุปทานแสดงเป็นฟังก์ชันของราคา) ที่อุปสงค์ราคามากกว่าอุปทาน และเนื่องจากอุปทานมีน้อยกว่าอุปสงค์ ราคาจึงสูงขึ้นและสินค้าถูกซื้อขึ้นในราคา . ในราคานี้ อุปทานเพิ่มขึ้นเป็น ; ขณะนี้อุปทานมีมากกว่าอุปสงค์และผู้ผลิตถูกบังคับให้ขายสินค้าในราคา หลังจากที่อุปทานลดลงและกระบวนการเกิดซ้ำ ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปแบบวงจรธุรกิจที่เรียบง่าย ตลาดค่อยๆ เข้าสู่สมดุล: อุปสงค์ ราคา และอุปทานถูกกำหนดไว้ที่ระดับ

ข้าว. 1 สอดคล้องกับคำตอบของสมการ (1) โดยวิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง ซึ่งกำหนดรากของสมการนี้ กล่าวคือ ราคาดุลยภาพและมูลค่าที่สอดคล้องกันของอุปสงค์และอุปทาน

พิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น - "กฎทอง" ของการสะสม มูลค่าของผลผลิตขององค์กร (เป็นรูเบิล) ของผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้าย ณ จุดใดเวลาหนึ่งจะถูกกำหนดโดยต้นทุนแรงงานซึ่งผลผลิตขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของระดับความอิ่มตัวของอุปกรณ์ต่อต้นทุนแรงงาน สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้คือ:

. (2)

ผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้ายถูกแจกจ่ายให้กับการบริโภคและการสะสมของอุปกรณ์ หากเราแสดงถึงส่วนแบ่งของผลลัพธ์ที่สะสมผ่าน แล้ว

ในทางเศรษฐศาสตร์เรียกว่าอัตราการสะสม ค่าของมันอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

หน่วยของเวลา ปริมาณของอุปกรณ์เปลี่ยนแปลงตามปริมาณของการสะสม

. (4)

ด้วยการเติบโตทางเศรษฐกิจที่สมดุล ส่วนประกอบทั้งหมดจึงเติบโตในอัตราการเติบโตที่เท่ากัน ตามสูตร ดอกเบี้ยทบต้นเราได้รับ:

, , , .

หากเราแนะนำค่าที่บ่งบอกลักษณะการบริโภคปริมาณของอุปกรณ์และผลผลิตต่อพนักงานระบบความสัมพันธ์ (2) - (4) จะเข้าสู่ระบบ

, , . (5)

อัตราส่วนที่สองซึ่งกำหนดอัตราการเติบโตและการบริโภคจะกำหนดอัตราส่วนทุนต่อแรงงานเป็นจุดตัดของเส้นโค้งและเส้นตรงในรูปที่ 2. เส้นเหล่านี้จะตัดกันอย่างแน่นอน เนื่องจากฟังก์ชัน เติบโตอย่างจำเจ ซึ่งหมายถึงการเพิ่มผลผลิตด้วยการเพิ่มกำลังแรงงาน แต่เบากว่านั่นคือ มันเป็นฟังก์ชันเว้า สถานการณ์หลังนี้สะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าการเพิ่มขึ้นของอุปกรณ์ต่อคนงานหนึ่งคนเพิ่มขึ้น เนื่องจากปริมาณงานที่เพิ่มขึ้นนั้นมีประสิทธิภาพน้อยลง ("กฎแห่งอรรถประโยชน์ที่ลดลง") ตระกูลของเส้นโค้งสอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของอัตราการสะสม ความยาวของเซ็กเมนต์ตามสูตร (5) เท่ากับปริมาณการใช้ ที่ (จุดในรูปที่ 2) ไม่มีการบริโภคเลย - การผลิตทั้งหมดไปที่การสะสมของอุปกรณ์ ตอนนี้ให้เราลดอัตราการสะสม จากนั้นการบริโภค (ความยาว ) จะไม่เป็นศูนย์แม้ว่าอัตราการเติบโตของเศรษฐกิจ (ความชันของเส้นตรง ) จะยังคงเท่าเดิม ที่จุดที่มีพิกัดซึ่งแทนเจนต์กับเส้นโค้งขนานกับเส้นตรง การบริโภคจะสูงสุด มันสอดคล้องกับเส้นโค้งครอบครัวที่มีอัตราการสะสมที่เรียกว่า "อัตราการสะสมทองคำ"

ลีโอนิด ไวตาลีวิช คันโตโรวิช
(1912-1986)

L.V. Kantorovich - นักคณิตศาสตร์และนักเศรษฐศาสตร์ชาวโซเวียต ผู้สร้างโปรแกรมเชิงเส้นตรงและทฤษฎีการวางแผนที่ดีที่สุดของเศรษฐกิจสังคมนิยม นักวิชาการ ผู้ชนะรางวัลโนเบล

L.V. Kantorovich เกิดที่เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กในครอบครัวแพทย์ ความสามารถของเขาแสดงออกอย่างผิดปกติตั้งแต่เนิ่นๆ แล้วที่ 4 เป้าหมายเขาดำเนินการอย่างอิสระด้วยตัวเลขหลายหลักเมื่ออายุได้เจ็ดขวบเขาเชี่ยวชาญวิชาเคมีตามตำราเรียนของพี่ชาย ตอนอายุ 14 เขาเป็นนักศึกษาที่มหาวิทยาลัยเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก เมื่อสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัย ในปี พ.ศ. 2473 แอล. วี. คันโตโรวิช เป็นนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอยู่แล้ว ผู้เขียนบทความหลายสิบฉบับที่ตีพิมพ์ในวารสารทางคณิตศาสตร์ระดับนานาชาติชั้นนำ และตอนอายุ 20 ปี เขาเป็นศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์

ในปี ค.ศ. 1935 นักวิทยาศาสตร์ได้แนะนำและศึกษาคลาสของช่องว่างหน้าที่ซึ่งมีการกำหนดความสัมพันธ์ของลำดับสำหรับองค์ประกอบบางชุด ทฤษฎีของช่องว่างดังกล่าวเรียกว่า Kantorovich space หรือ -spaces เป็นหนึ่งในส่วนหลักของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน งานล่าสุดที่เกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหาความต่อเนื่องได้กำหนดตำแหน่งของ -ช่องว่างในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์พื้นฐานที่สุด

L.V. Kantorovich โดดเด่นด้วยความสามารถที่น่าทึ่งของเขาในการมองเห็นแก่นแท้ของปัญหาในปัญหาใดปัญหาหนึ่ง และหลังจากสร้างทฤษฎีขึ้นมาเพื่อกำหนดวิธีการทั่วไปในการแก้ปัญหาที่คล้ายคลึงกันในระดับกว้างๆ สิ่งนี้ถูกเปิดเผยอย่างชัดเจนโดยเฉพาะในงานของเขาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เชิงคำนวณและเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์

ในช่วงต้นยุค 30 L.V. Kantorovich เป็นหนึ่งในนักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงคนแรกๆ ที่มีความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์เชิงคำนวณ รูปลักษณ์ที่ทันสมัยของวิทยาศาสตร์นี้ถูกกำหนดโดยผลงานของเขาเป็นส่วนใหญ่ ในหมู่พวกเขามีเอกสารพื้นฐานและคลาสสิก "วิธีการวิเคราะห์ที่สูงขึ้นโดยประมาณ"; วิธีการคำนวณที่มีชื่อของเขา ทฤษฎีทั่วไปวิธีการโดยประมาณที่สร้างขึ้นบนพื้นฐานของการวิเคราะห์เชิงหน้าที่ (State Prize, 1949); ทำงานเกี่ยวกับการเขียนโปรแกรมอัตโนมัติ ดำเนินการในช่วงรุ่งอรุณของยุคคอมพิวเตอร์ และคาดการณ์ถึงแนวคิดสมัยใหม่มากมาย และในที่สุดก็มีการประดิษฐ์สิ่งประดิษฐ์มากมายในด้านเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์

ในปี 1939 แผ่นพับขนาดเล็ก "วิธีการทางคณิตศาสตร์ของการจัดองค์กรและการวางแผนการผลิต" ได้รับการตีพิมพ์ในเลนินกราด ซึ่งจริงๆ แล้วมีส่วนใหม่ของคณิตศาสตร์ประยุกต์ ซึ่งต่อมาเรียกว่าโปรแกรมเชิงเส้น (ดู เรขาคณิต) เหตุผลในการเขียนนั้นเป็นงานการผลิตที่เฉพาะเจาะจง โดยตระหนักถึงความสำคัญที่สำคัญของแนวคิดเรื่องความแปรปรวนและความเหมาะสมในระบบเศรษฐกิจสังคมนิยม ตัวชี้วัดที่สำคัญ เช่น ราคา ค่าเช่า ประสิทธิภาพ เขาจึงดำเนินการพัฒนาทฤษฎีการวางแผนที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งต่อมาได้รับรางวัลเลนิน (1965) และโนเบล (1975) รางวัล

หนังสือ "การคำนวณทางเศรษฐศาสตร์ของการใช้ทรัพยากรที่ดีที่สุด" ซึ่งอธิบายทฤษฎีนี้ถูกเขียนขึ้นภายใต้เงื่อนไขของการปิดล้อมเลนินกราดและแล้วเสร็จในปี 2485

เมื่อเข้าใจถึงความสำคัญอย่างยิ่งของการศึกษาเหล่านี้ นักวิทยาศาสตร์จึงพยายามนำผลที่ได้ไปใช้จริงอย่างไม่ลดละ อย่างไรก็ตาม งานนี้ไม่ได้รับการตีพิมพ์จนถึงปี 1959 และถึงกระนั้นก็ถูกโจมตีโดยนักเศรษฐศาสตร์การเมืองดั้งเดิม หนังสือของ L.V. Kantorovich กำหนดมุมมองของนักเศรษฐศาสตร์โซเวียตทั้งรุ่น แนวคิดหลายอย่างที่แสดงออกมาในครั้งแรกนั้นกำลังถูกนำไปใช้ในแนวทางของเปเรสทรอยก้า

หลังจากการแข่งขันกีฬาโอลิมปิก เป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะหารือเกี่ยวกับการแก้ปัญหา

ปัญหาที่ยากในเศรษฐศาสตร์ทางคณิตศาสตร์คือการเปรียบเทียบทฤษฎีและการปฏิบัติ: เป็นการยากมากที่จะวัดตัวบ่งชี้ทางเศรษฐศาสตร์ - ตัวชี้วัดเหล่านี้ไม่ได้วัดในห้องปฏิบัติการ การสังเกตสามารถทำได้น้อยมาก (จำสำมะโน!) พวกเขาดำเนินการในเงื่อนไขที่แตกต่างกัน และมีความไม่ถูกต้องมากมาย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะใช้ประสบการณ์การวัดที่สะสมในศาสตร์อื่นที่นี่ และจำเป็นต้องมีการพัฒนาวิธีการพิเศษ

การพัฒนาเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ทำให้เกิดทฤษฎีทางคณิตศาสตร์หลายทฤษฎี รวมกันโดยใช้ชื่อ "การโปรแกรมทางคณิตศาสตร์" (สำหรับโปรแกรมเชิงเส้น โปรดดูบทความ "เรขาคณิต")

ประเด็นของการประยุกต์ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ในทางเศรษฐศาสตร์ได้รับการพัฒนาในผลงานของนักคณิตศาสตร์โซเวียต L. V. Kantorovich ผู้ได้รับรางวัลเลนินและรางวัลโนเบล

ให้อุปสงค์ S และอุปทาน D ของผลิตภัณฑ์ขึ้นอยู่กับราคา P สำหรับดุลยภาพ ราคาตลาดควรเป็นเช่นนี้ (P *) ที่สินค้าหมดและไม่มีส่วนเกิน:

D(P*) = S(P*). (หนึ่ง)

แต่ถ้าตัวอย่างเช่น ข้อเสนอมาล่าช้าในช่วงเวลาหนึ่ง ดังแสดงในรูปที่ 1 (โดยที่เส้นอุปสงค์และอุปทานแสดงเป็นฟังก์ชันของราคา) ที่ราคา P 0 ความต้องการ S 0 เกินอุปทาน D 0 และเนื่องจากอุปทานมีน้อยกว่าอุปสงค์ ราคาจึงสูงขึ้นและสินค้าถูกซื้อขึ้นที่ราคา P 1 > P 0 . ในราคานี้อุปทานเพิ่มขึ้นเป็นมูลค่า S 1 ; ตอนนี้อุปทานมีมากกว่าอุปสงค์และผู้ผลิตถูกบังคับให้ขายสินค้าในราคา P2< Р 1 , после чего предложение падает и процесс повторяется. Получилась простая модель экономического цикла. Постепенно рынок приходит в равновесие: спрос, цена и предложение устанавливаются на уровне S * , P * , D * .

ข้าว. 1 สอดคล้องกับคำตอบของสมการ (1) โดยวิธีการประมาณแบบต่อเนื่อง ซึ่งกำหนดรากของสมการนี้ กล่าวคือ ราคาดุลยภาพ P * และมูลค่าที่สอดคล้องกันของอุปสงค์และอุปทาน S * , D *

พิจารณาตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น - "กฎทอง" ของการสะสม ปริมาณของผลผลิตโดยองค์กร (ในรูเบิล) ของผลิตภัณฑ์ขั้นสุดท้าย Y เสื้อ ณ เวลา เสื้อ ถูกกำหนดโดยค่าแรง L เสื้อ , ผลผลิตซึ่งขึ้นอยู่กับอัตราส่วนของระดับความอิ่มตัวของอุปกรณ์ K เสื้อ ต่อต้นทุนแรงงาน สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์สำหรับสิ่งนี้คือ:

Y เสื้อ = f(K เสื้อ /L เสื้อ)L เสื้อ (2)

ผลิตภัณฑ์สุดท้ายถูกแจกจ่ายให้กับการบริโภค C t และการสะสมของอุปกรณ์ หากเราแสดงถึงส่วนแบ่งของผลลัพธ์ที่สะสมผ่าน s แล้ว

C t = (l - s) Y เสื้อ . (3)

หน่วยของเวลา ปริมาณของอุปกรณ์เปลี่ยนแปลงตามปริมาณของการสะสม

K เสื้อ+1 - K เสื้อ = sy เสื้อ . (สี่)

ด้วยการเติบโตทางเศรษฐกิจที่สมดุล ส่วนประกอบทั้งหมดจึงเติบโตในอัตราการเติบโตที่เท่ากัน λ โดยใช้สูตรดอกเบี้ยทบต้นเราได้รับ:

Y เสื้อ = (1+λ) เสื้อ Y, L เสื้อ = (1+λ) เสื้อ L, K เสื้อ = (1+λ) เสื้อ K, C เสื้อ = (1+λ) เสื้อ C.

หากเราแนะนำปริมาณที่ระบุลักษณะการบริโภค c = C/L ปริมาณของอุปกรณ์ R = K/L และผลลัพธ์ y = Y/L ต่อคนงาน ระบบความสัมพันธ์ (2)-(4) จะเข้าสู่ระบบ

y=f(R), λR=sf(R), c=f(R) - sf(R). (5)

ความสัมพันธ์ที่สองโดยพิจารณาจากอัตราการเติบโต λ และการบริโภค s จะกำหนดอัตราส่วนทุนต่อแรงงาน R เป็นจุดตัดของเส้นโค้ง y = sf(R) และเส้นตรง y = λR ในรูปที่ 2. เส้นเหล่านี้จะตัดกันอย่างแน่นอน เนื่องจากฟังก์ชัน f(R) แม้ว่าจะเพิ่มขึ้นแบบโมโนโทน ซึ่งหมายถึงการเพิ่มผลผลิตด้วยการเพิ่มกำลังแรงงาน R แต่ค่อยๆ มากขึ้น กล่าวคือ นี่คือฟังก์ชันเว้า สถานการณ์หลังนี้สะท้อนให้เห็นถึงความจริงที่ว่าการเพิ่มขึ้นของอุปกรณ์ต่อคนงานหนึ่งคน เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของปริมาณงาน กำลังมีประสิทธิภาพน้อยลง ("กฎแห่งอรรถประโยชน์ที่ลดลง") ตระกูลของเส้นโค้ง y = sf(R) สอดคล้องกับค่าต่าง ๆ ของอัตราการสะสม S ความยาว f(R) - sf(R) ของเซ็กเมนต์ AB ตามสูตร (5) เท่ากับปริมาณการใช้ c ที่ s = 1 (จุด A 0 ในรูปที่ 2) ไม่มีการบริโภคเลย - การผลิตทั้งหมดจะไปที่การสะสมของอุปกรณ์ ตอนนี้ให้เราลดอัตราการสะสม s จากนั้นการบริโภค c (ความยาว AB) จะไม่เป็นศูนย์แม้ว่าอัตราการเติบโต λ ของเศรษฐกิจ (ความชันของเส้นตรง OB) ยังคงเท่าเดิม ที่จุดที่มีพิกัด R * ซึ่งแทนเจนต์ของเส้นโค้ง y = f(R) ขนานกับเส้นตรง y = λR ปริมาณการใช้ที่มี * เป็นค่าสูงสุด มันสอดคล้องกับเส้นโค้งของตระกูล y = s * f (R) ด้วยอัตราการสะสมที่แน่นอน s * เรียกว่า "อัตราการสะสมทองคำ"

ปัญหาที่ยากในเศรษฐศาสตร์ทางคณิตศาสตร์คือการเปรียบเทียบทฤษฎีและการปฏิบัติ: เป็นการยากมากที่จะวัดตัวชี้วัดทางเศรษฐศาสตร์ - ตัวชี้วัดเหล่านี้ไม่ได้วัดในห้องปฏิบัติการ การสังเกตสามารถทำได้น้อยมาก (จำสำมะโน!) พวกเขาดำเนินการในที่แตกต่างกัน และมีความคลาดเคลื่อนมากมาย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องยากที่จะใช้ประสบการณ์การวัดที่สะสมในศาสตร์อื่นที่นี่ และจำเป็นต้องมีการพัฒนาวิธีการพิเศษ

เรื่องและวิธีการ ทฤษฎีเศรษฐศาสตร์

ความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจแผ่ซ่านไปทั่วทุกด้านของชีวิตมนุษย์ การศึกษารูปแบบของพวกเขาได้ครอบงำจิตใจของนักปรัชญาในสมัยโบราณ ค่อยๆพัฒนา เกษตรกรรมการเกิดขึ้นของทรัพย์สินส่วนตัวมีส่วนทำให้เกิดความยุ่งยาก ความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจและการสร้างระบบเศรษฐกิจแบบแรก ความก้าวหน้าทางวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ซึ่งกำหนดการเปลี่ยนจากการใช้แรงงานคนไปเป็นแรงงานเครื่องจักร ทำให้เกิดแรงผลักดันอย่างแข็งแกร่งในการควบรวมการผลิต และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการขยายความสัมพันธ์และโครงสร้างทางเศรษฐกิจ ที่ โลกสมัยใหม่เศรษฐศาสตร์ได้รับการพิจารณาร่วมกับผู้อื่นที่เกี่ยวข้องมากขึ้น สังคมศาสตร์. กล่าวคือที่ทางแยกของสองทิศทางมีวิธีแก้ปัญหาต่าง ๆ ที่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้

แนวโน้มพื้นฐานทางเศรษฐศาสตร์เริ่มก่อตัวขึ้นในช่วงกลางศตวรรษที่สิบเก้าเท่านั้น แม้ว่านักวิทยาศาสตร์ในหลายประเทศในช่วงหลายศตวรรษได้สร้างโรงเรียนพิเศษที่ศึกษารูปแบบชีวิตทางเศรษฐกิจของผู้คน ในเวลานี้เท่านั้น นอกเหนือจากการประเมินเชิงคุณภาพของสิ่งที่เกิดขึ้นแล้ว นักวิทยาศาสตร์เริ่มตรวจสอบและเปรียบเทียบเหตุการณ์จริงในระบบเศรษฐกิจ การพัฒนาเศรษฐศาสตร์คลาสสิกมีส่วนทำให้เกิดสาขาวิชาประยุกต์ที่ศึกษาด้านระบบเศรษฐกิจที่แคบลง

หัวข้อหลักของการศึกษาทฤษฎีเศรษฐศาสตร์คือการค้นหาแนวทางแก้ไขที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการประหยัดในระดับต่างๆ ขององค์กร ในแง่ของการตอบสนองความต้องการที่เพิ่มขึ้นภายใต้เงื่อนไขของทรัพยากรที่จำกัด นักเศรษฐศาสตร์ใช้วิธีการที่หลากหลายในการวิจัย ในหมู่พวกเขาที่ใช้กันมากที่สุดมีดังต่อไปนี้:

วิธีการที่อนุญาตให้คุณประเมินองค์ประกอบของโครงสร้างทั่วไปหรือสรุปโครงสร้างแต่ละรายการ พวกเขาเรียกว่าวิธีการวิเคราะห์และสังเคราะห์
การเหนี่ยวนำและการหักเงินทำให้สามารถพิจารณาพลวัตของกระบวนการจากเฉพาะไปสู่ทั่วไปและในทางกลับกัน
แนวทางที่เป็นระบบช่วยให้เห็นองค์ประกอบทางเศรษฐกิจที่แยกจากกันเป็นโครงสร้างและวิเคราะห์
ในทางปฏิบัติ ใช้วิธีนามธรรมกันอย่างแพร่หลาย ช่วยให้คุณสามารถแยกวัตถุหรือปรากฏการณ์ที่ศึกษาออกจากความสัมพันธ์และปัจจัยภายนอกได้
เช่นเดียวกับในวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ภาษาของคณิตศาสตร์มักถูกใช้ในทางเศรษฐศาสตร์ ซึ่งช่วยให้เห็นภาพองค์ประกอบที่ศึกษาของเศรษฐกิจตลอดจนวิเคราะห์หรือสร้างการคาดการณ์แนวโน้มที่จำเป็น

สาระสำคัญของเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์

เศรษฐศาสตร์สมัยใหม่โดดเด่นด้วยความซับซ้อนของระบบที่ศึกษา ตามกฎแล้วตัวแทนทางเศรษฐกิจรายหนึ่งเข้าสู่ความสัมพันธ์มากมายในคราวเดียวและทุกวัน หากเรากำลังพูดถึงองค์กร จำนวนของการโต้ตอบภายในและภายนอกจะเพิ่มขึ้นหลายพันเท่า เพื่ออำนวยความสะดวกในการวิจัยและงานวิเคราะห์ที่นักเศรษฐศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ต้องเผชิญ มีการใช้ภาษาของคณิตศาสตร์ การพัฒนาเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ทำให้สามารถแก้ปัญหาที่อยู่นอกเหนืออำนาจของวิธีการอื่นที่ใช้ในทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ได้

เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์เป็นพื้นที่ประยุกต์ของทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ สาระสำคัญอยู่ที่การประยุกต์ใช้วิธีการทางคณิตศาสตร์ วิธีการ และเครื่องมือในการอธิบาย ศึกษา และวิเคราะห์ระบบเศรษฐกิจ อย่างไรก็ตาม วินัยนี้มีความเฉพาะเจาะจงของตัวเอง มันไม่ได้ศึกษาปรากฏการณ์ทางเศรษฐศาสตร์เช่นนี้ แต่เกี่ยวข้องกับการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับตัวแบบทางคณิตศาสตร์

หมายเหตุ 1

เป้าหมายของเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์เช่นเดียวกับพื้นที่ที่ใช้ส่วนใหญ่สามารถเรียกได้ว่าเป็นการก่อตัวของข้อมูลวัตถุประสงค์และการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ ประการแรกคือการศึกษาตัวชี้วัดเชิงปริมาณเชิงคุณภาพตลอดจนพฤติกรรมของตัวแทนทางเศรษฐกิจในพลวัต

ความท้าทายที่ต้องเผชิญกับเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์มีดังนี้:

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายกระบวนการและปรากฏการณ์ในระบบเศรษฐกิจ
ศึกษาพฤติกรรมวิชาความสัมพันธ์ทางเศรษฐกิจต่างๆ
การดำเนินการความช่วยเหลือในการก่อสร้างและการประเมินแผนงาน การคาดการณ์ เหตุการณ์ประเภทต่างๆในพลวัต
ดำเนินการวิเคราะห์ค่าทางคณิตศาสตร์และสถิติ

คณิตศาสตร์ประยุกต์ทางเศรษฐศาสตร์

เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ในความสำคัญทางสังคมนั้นใกล้เคียงกับคณิตศาสตร์มากพอ หากเราพิจารณาวินัยนี้จากด้านวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ มันจะเป็นทิศทางที่ประยุกต์ใช้ คณิตศาสตร์ประยุกต์ทำให้สามารถพิจารณาและวิเคราะห์แต่ละองค์ประกอบของระบบเศรษฐกิจที่ซับซ้อนที่สุดได้ เนื่องจากมีฟังก์ชันการทำงานที่กว้างขวางตามความรู้ทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน ความเป็นไปได้ของคณิตศาสตร์ดังกล่าวมีส่วนทำให้เกิดนิเวศวิทยาทางคณิตศาสตร์ สังคมวิทยา ภาษาศาสตร์ และคณิตศาสตร์การเงิน

พิจารณาวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่สุดที่ใช้ในการศึกษาระบบเศรษฐกิจ:

การวิจัยเชิงปฏิบัติการเกี่ยวข้องกับการศึกษากระบวนการและปรากฏการณ์ในระบบ ซึ่งรวมถึงงานวิเคราะห์และการเพิ่มประสิทธิภาพของแอปพลิเคชันในทางปฏิบัติของผลลัพธ์ที่ได้รับ
แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ประกอบด้วยวิธีการและเครื่องมือมากมายที่ช่วยให้สามารถแก้ปัญหาที่นักวิทยาศาสตร์และนักเศรษฐศาสตร์ต้องเผชิญ ทฤษฎีเกม ทฤษฎีการบริการ ทฤษฎีการตั้งเวลา และทฤษฎีสินค้าคงคลัง
การเพิ่มประสิทธิภาพในวิชาคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับการค้นหาค่าสุดขั้ว ทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด สำหรับวัตถุประสงค์เหล่านี้ มักจะใช้กราฟฟังก์ชัน

วิธีการทางคณิตศาสตร์ที่ระบุไว้ข้างต้นทำให้สามารถศึกษาสถานการณ์ทางสถิติในระบบเศรษฐกิจหรือกระบวนการในระยะสั้นได้ อย่างที่ทราบในปัจจุบันเป้าหมายหลัก หน่วยงานทางเศรษฐกิจคือการหาสมดุลในระยะยาว สิ่งสำคัญในการศึกษาเหล่านี้คือปัจจัยด้านเวลา ซึ่งสามารถนำมาพิจารณาโดยใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นในการคำนวณ ซึ่งเป็นทฤษฎีของการแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

หมายเหตุ2

ดังนั้นคณิตศาสตร์และเศรษฐศาสตร์จึงมีความเกี่ยวข้องกันอย่างใกล้ชิด เป็นธรรมเนียมที่จะต้องแต่งเติมพลวัตของโครงสร้างทางเศรษฐกิจในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ ซึ่งสามารถแบ่งออกเป็นงานย่อยที่แยกจากกัน และใช้วิธีการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ที่เป็นไปได้ทั้งหมด ตลอดจนการคำนวณทางคณิตศาสตร์ การตัดสินใจในด้านเศรษฐกิจเป็นการดำเนินการที่ค่อนข้างซับซ้อน เนื่องจากเกี่ยวข้องกับความไม่สมบูรณ์และความไม่สมบูรณ์ของข้อมูลที่มีอยู่ การใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ทำให้ลดความเสี่ยงในการตัดสินใจของฝ่ายบริหารได้

วัตถุประสงค์หลักของเศรษฐกิจ- จัดหาสินค้าอุปโภคบริโภคให้กับสังคม มีรูปแบบเชิงปริมาณที่มั่นคงในระบบเศรษฐกิจ ดังนั้นคำอธิบายทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการจึงเป็นไปได้

วัตถุ ศึกษาวินัย - เศรษฐศาสตร์และแผนกต่างๆ

เรื่อง - แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุทางเศรษฐกิจ

วิธี - การวิเคราะห์ระบบเศรษฐกิจเป็นระบบไดนามิกที่ซับซ้อน

แบบอย่าง - เป็นวัตถุที่มาแทนที่ของเดิม สะท้อนถึงคุณลักษณะและคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของต้นฉบับสำหรับการศึกษานี้

แบบจำลองที่เป็นชุดของความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์เรียกว่าทางคณิตศาสตร์

องค์ประกอบการจำลอง

ระบบ เป็นชุดขององค์ประกอบที่สัมพันธ์กันซึ่งร่วมกันบรรลุเป้าหมายบางอย่าง

ซุปเปอร์ซิสเต็มส์ - สภาพแวดล้อมโดยรอบระบบที่ระบบทำงาน

ระบบย่อย - ชุดย่อยขององค์ประกอบที่ใช้เป้าหมายที่สอดคล้องกับเป้าหมายของระบบ (ระบบย่อยสามารถใช้ส่วนหนึ่งของเป้าหมายของระบบได้)

ระบบเศรษฐกิจ: จัดสรรทรัพยากร ผลิตสินค้า กระจายสินค้า และสะสม

สุดยอดระบบเศรษฐกิจของประเทศ- ธรรมชาติ, เศรษฐกิจโลกและสังคม

ระบบย่อยหลักของเศรษฐกิจ- การผลิตและการเงิน - สินเชื่อ

คุณสมบัติของเศรษฐกิจในฐานะวัตถุจำลอง

ในทางเศรษฐศาสตร์ โมเดลที่คล้ายคลึงกันเป็นไปไม่ได้เพราะ เป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างสำเนาที่ถูกต้องของเศรษฐกิจและหาทางเลือกสำหรับนโยบายเศรษฐกิจในสำเนานี้

การทดลองในระบบเศรษฐกิจมีจำกัด เนื่องจากทุกส่วนเชื่อมต่อถึงกันอย่างแน่นหนา

การทดลองโดยตรงกับเศรษฐกิจมีทั้งด้านบวกและด้านลบ

ด้านบวก- ผลลัพธ์ระยะสั้นของนโยบายเศรษฐกิจที่ดำเนินการจะมองเห็นได้ทันที

ด้านลบ- เป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายโดยตรงถึงผลที่ตามมาในระยะกลางและระยะยาวของการตัดสินใจ

ดังนั้น เพื่อที่จะพัฒนาการตัดสินใจทางเศรษฐกิจที่ถูกต้อง จำเป็นต้องคำนึงถึงทั้งประสบการณ์ที่ผ่านมาทั้งหมดและผลลัพธ์ที่ได้จากการคำนวณโดยใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่เพียงพอกับสถานการณ์ทางเศรษฐกิจที่กำหนด

การพัฒนาตัวแบบทางคณิตศาสตร์นั้นลำบากแต่มีแนวโน้มมาก ดังนั้น รูปแบบของ Keynes ซึ่งสะท้อนถึงความสามารถของเศรษฐกิจการตลาดในการปรับตัวให้เข้ากับอิทธิพลที่รบกวน ถูกสร้างขึ้นภายใต้ความประทับใจของวิกฤตการณ์ปี 1929-1933 อย่างไรก็ตาม การใช้แบบจำลองนี้เพื่อเอาชนะวิกฤตหลังสงครามในเยอรมนีและญี่ปุ่นประสบความสำเร็จอย่างมาก และถูกเรียกว่า "ปาฏิหาริย์ทางเศรษฐกิจ"

ลองพิจารณาโครงสร้างของเศรษฐกิจในฐานะที่เป็นวัตถุของแบบจำลองทางคณิตศาสตร์

เศรษฐกิจเป็นระบบที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยเซลล์การผลิตและที่ไม่ใช่การผลิต (การเงิน) (หน่วยเศรษฐกิจ) ที่อยู่ในการผลิต เทคโนโลยีและ (หรือ) ความสัมพันธ์ขององค์กรและเศรษฐกิจซึ่งกันและกัน

ในความสัมพันธ์กับระบบเศรษฐกิจ สมาชิกแต่ละคนในสังคมมีบทบาทสองประการ: ในด้านหนึ่งในฐานะผู้บริโภคและอีกด้านหนึ่งในฐานะผู้ปฏิบัติงาน

นอกจากแรงงานแล้ว ทรัพยากรทางวัตถุคือ ทรัพยากรธรรมชาติและวิธีการผลิต

การผลิตวัสดุทุกสาขาสร้างกำไรขั้นต้น สินค้าภายในประเทศ(จีดีพี).

ที่ ธรรมชาติ-จริงรูปแบบของจีดีพี - นี่คือวิธีการของแรงงานและสินค้าอุปโภคบริโภค

ในรูปแบบมูลค่า - กองทุนชดเชยการเกษียณอายุของสินทรัพย์ถาวร (กองทุนค่าเสื่อมราคา) และมูลค่าที่สร้างขึ้นใหม่ (รายได้ประชาชาติ)

ในกระบวนการสร้าง GDP ผลิตภัณฑ์ขั้นกลางจะถูกผลิตและบริโภคซ้ำ

โดย จับต้องได้องค์ประกอบของผลิตภัณฑ์ขั้นกลางเป็นวัตถุของแรงงานที่ใช้สำหรับการบริโภคในการผลิตในปัจจุบัน มูลค่าของพวกมันจะถูกโอนไปยังมูลค่าของแรงงานหรือสินค้าโภคภัณฑ์ที่รวมอยู่ใน GDP ทั้งหมด

การใช้คณิตศาสตร์ในระบบเศรษฐกิจช่วยให้:

1. เน้นและอธิบายอย่างเป็นทางการถึงความสัมพันธ์ที่สำคัญที่สุดของตัวแปรและวัตถุทางเศรษฐกิจ

2. รับความรู้ใหม่เกี่ยวกับวัตถุ

3. ประเมินประเภทของการพึ่งพาปัจจัยและพารามิเตอร์ของตัวแปรสรุป

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์คืออะไร?

นี่คือคำอธิบายอย่างเป็นทางการอย่างง่ายของปรากฏการณ์ทางเศรษฐกิจ

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของวัตถุทางเศรษฐกิจคือการแสดงในรูปของสมการ ความไม่เท่าเทียมกัน ความสัมพันธ์เชิงตรรกะ กราฟ

แบบจำลองทำให้สามารถระบุคุณลักษณะของการทำงานของวัตถุทางเศรษฐกิจ และบนพื้นฐานนี้ คาดการณ์พฤติกรรมของวัตถุในอนาคตเมื่อพารามิเตอร์เปลี่ยนแปลง

ขั้นตอนการสร้างแบบจำลอง:

1. หัวข้อและเป้าหมายของการศึกษาได้รับการกำหนดขึ้น

2. ในระบบเศรษฐกิจ องค์ประกอบโครงสร้างหรือหน้าที่สอดคล้องกับเป้าหมายนี้มีความโดดเด่น

3. มีการเปิดเผยลักษณะเชิงคุณภาพที่สำคัญที่สุดขององค์ประกอบเหล่านี้

4. เชิงคุณภาพอธิบายความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบ

5. มีการแนะนำการกำหนดสัญลักษณ์สำหรับลักษณะของวัตถุทางเศรษฐกิจและมีการกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างกัน

6. การคำนวณจะดำเนินการตามแบบจำลองและวิเคราะห์ผลลัพธ์ที่ได้รับ

โครงสร้างโมเดล:

ในการสร้างแบบจำลอง จำเป็นต้องกำหนดตัวแปรและพารามิเตอร์ภายนอกและภายใน

ตัวแปรภายนอก– ถูกตั้งนอกโมเดล กล่าวคือ ทราบในขณะที่คำนวณ

ตัวแปรภายนอก– ถูกกำหนดในหลักสูตรการคำนวณตามแบบจำลอง

ตัวเลือก คือสัมประสิทธิ์ของสมการ

ชั้นเรียนของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์

แบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์แบ่งออกเป็นชั้นเรียนต่อไปนี้:

1. ตามระดับของลักษณะทั่วไป

ก. เศรษฐกิจมหภาค - อธิบายเศรษฐกิจโดยรวม, เชื่อมโยงตัวชี้วัดรวม: GDP, การบริโภค, การลงทุน, การจ้างงาน Macromodels สะท้อนให้เห็นถึงการทำงานและการพัฒนาของทั้งหมด ระบบเศรษฐกิจหรือระบบย่อยที่ใหญ่พอสมควร ในแบบจำลองมาโคร เซลล์เศรษฐกิจถือว่าแบ่งแยกไม่ได้

ข. เศรษฐศาสตร์จุลภาค - อธิบายปฏิสัมพันธ์ขององค์ประกอบโครงสร้างและหน้าที่ของเศรษฐกิจ ไมโครโมเดล - การทำงานของหน่วยเศรษฐกิจและสมาคม ในไมโครโมเดล หน่วยเศรษฐกิจถือได้ว่าเป็นระบบที่ซับซ้อน

2. ตามระดับนามธรรม

ก. ทฤษฎี - อนุญาตให้คุณศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของเศรษฐกิจโดยมาจากสถานที่อย่างเป็นทางการ ใช้เพื่อศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของเศรษฐกิจและองค์ประกอบ (แบบจำลองอุปสงค์และอุปทาน)

ข. ใช้ - ทำให้สามารถประเมินพารามิเตอร์ของการทำงานของวัตถุทางเศรษฐกิจโดยเฉพาะและพัฒนาคำแนะนำสำหรับการตัดสินใจ ใช้เพื่อประเมินพารามิเตอร์ของวัตถุทางเศรษฐกิจที่เฉพาะเจาะจง ซึ่งรวมถึงแบบจำลองทางเศรษฐมิติที่ใช้วิธีการทางสถิติทางคณิตศาสตร์

3. แบบจำลองดุลยภาพและการเติบโต

ก. ดุลยภาพ - แบบจำลองพรรณนา (พรรณนา) พวกเขาอธิบายสภาพเศรษฐกิจดังกล่าว เมื่อผลลัพธ์ของกองกำลังทั้งหมดที่พยายามนำเศรษฐกิจออกจากสถานะนี้มีค่าเท่ากับศูนย์ ตัวอย่างคือโมเดล Leontief (อินพุต-เอาต์พุต)

ข. แบบจำลองการเติบโตได้รับการออกแบบมาเพื่อกำหนดว่าเศรษฐกิจควรพัฒนาอย่างไรภายใต้เกณฑ์บางประการ ตัวอย่าง - โซโลว์ โมเดลซามูเอลสัน-ฮิกส์

4. โดยคำนึงถึงปัจจัยด้านเวลา

ก. คงที่ - อธิบายสถานะของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่งหรือช่วงเวลาหนึ่ง

ข. ไดนามิก - รวมความสัมพันธ์ของตัวแปรในช่วงเวลาหนึ่ง มักจะใช้เครื่องมือของสมการเชิงอนุพันธ์

5. โดยคำนึงถึงปัจจัยแห่งโอกาส

ก. กำหนดขึ้น - บอกเป็นนัยถึงความสัมพันธ์เชิงหน้าที่ที่เข้มงวดระหว่างตัวแปรแบบจำลอง

ข. Stochastic - ให้เอฟเฟกต์สุ่มกับตัวบ่งชี้และใช้ทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติทางคณิตศาสตร์

คำถามทดสอบ

1. การสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์คืออะไร? ที่ของเขาใน การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์และการพยากรณ์

2. ขั้นตอนของการสร้างแบบจำลอง ปัจจัยแบบจำลอง

3. ชั้นเรียนของแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์.

หน่วยงานของรัฐบาลกลางเพื่อการศึกษา

มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ

__________________________________________________________________

ภาควิชาระบบสารสนเทศ

เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์

บันทึกบรรยาย

สำหรับนักศึกษาชั้นปีที่ 3 สาขาพิเศษ

"สารสนเทศประยุกต์ (เศรษฐศาสตร์)"

ตเวียร์ 2009

1. วิธีการประเมิน โครงการลงทุน

ปัจจุบันในประเทศที่มีเศรษฐกิจแบบตลาดพัฒนาแล้ว เมื่อวิเคราะห์โครงการลงทุน พวกเขาเริ่มใช้เทคนิคการลดราคาอย่างแพร่หลายตามตรรกะของดอกเบี้ยทบต้น ดังนั้นใน ส่วนนี้สาระสำคัญและข้อดีของการใช้วิธีการเหล่านี้จะได้รับ

^ 1.1 วิธีมูลค่าปัจจุบันสุทธิ

มูลค่าปัจจุบันสุทธิคำนวณเป็นผลต่าง
ลดเหลือจุดหนึ่งของกระแสรายได้และค่าใช้จ่าย
ตามโครงการ:

โดยที่ CF INt - กระแสเงินสดรับในช่วงเวลา t;

CF OFt - กระแสเงินสดไหลออกสำหรับงวด t;

R - อัตราคิดลด;

N - วงจรชีวิตของโครงการ

ในกรณีที่การลงทุนเป็นการลงทุนครั้งเดียวในช่วงเริ่มต้น สูตรการคำนวณ NPV จะมีลักษณะดังนี้:

โดยที่ C 0 - เงินลงทุนในช่วงศูนย์

การใช้เกณฑ์นี้ในการตัดสินใจนั้นค่อนข้างง่าย ค่า NPV ที่เป็นบวกแสดงถึงจำนวนรายได้ที่นักลงทุนจะได้รับเกินระดับที่กำหนด ในกรณีที่ NPV เท่ากับศูนย์ นักลงทุนไม่เพียงแต่คืนทุนของเขาเท่านั้น แต่ยังเพิ่มตามจำนวนที่ระบุโดยอัตราคิดลดอีกด้วย NPV เชิงลบที่เป็นผลลัพธ์บ่งชี้ว่าโครงการควรถูกปฏิเสธ

ควรสังเกตว่า NPV เป็นสารเติมแต่งเมื่อเวลาผ่านไป คุณสมบัตินี้ช่วยให้คุณสามารถสรุปมูลค่าปัจจุบันสุทธิของโครงการต่างๆ ซึ่งมีความสำคัญมากในการวิเคราะห์ความเหมาะสมของพอร์ตการลงทุน

^ 1.2 วิธีการคำนวณผลตอบแทนจากดัชนีการลงทุน

ดัชนีความสามารถในการทำกำไรคืออัตราส่วนของกำไรลดและต้นทุนโครงการ นั่นคือ ในความสัมพันธ์ ตัวอย่างเช่น กับการลงทุนแบบครั้งเดียว การคำนวณจะทำตามสูตร:

ในกรณีที่ค่า PI>1 โครงการมีกำไร ถ้า PI<1, то от инвестирования следует отказаться. Значение индекса рентабельности, равное единице, говорит о том, что проект и ни прибыльный, и ни убыточный.

ข้อดีของตัวบ่งชี้นี้เหนือตัวบ่งชี้ NPV คือมันสัมพันธ์กัน ดังนั้นจึงใช้งานง่ายเมื่อจำเป็นต้องเลือกโครงการหนึ่งจากโครงการทางเลือกต่างๆ ที่มีค่า NPV ใกล้เคียงกันโดยประมาณ รวมทั้งเมื่อสร้างพอร์ตการลงทุนที่มีมูลค่า NPV รวมสูงสุด

งานดังกล่าวเกิดขึ้นเมื่อมีโครงการลงทุนที่น่าสนใจหลายโครงการให้เลือก แต่เนื่องจากทรัพยากรทางการเงินที่จำกัด นักลงทุนจึงไม่สามารถเข้าร่วมในทุกโครงการพร้อมกันได้ จากนั้น PI จะถูกคำนวณสำหรับแต่ละโปรเจ็กต์ และโปรเจ็กต์จะถูกจัดลำดับจากมากไปหาน้อยของ PI พอร์ตการลงทุนประกอบด้วยโครงการ m-project แรก ซึ่งทั้งหมดสามารถจัดไฟแนนซ์ได้

หากโครงการต่อไปยืมตัวเพื่อแยก มันก็จะรวมอยู่ในพอร์ตโฟลิโอในส่วนนั้นที่สามารถจัดหาเงินทุนได้

^ 1.3 วิธีการคำนวณอัตราผลตอบแทนจากการลงทุน

อัตราผลตอบแทน (อัตราผลตอบแทนภายใน) คือมูลค่าของอัตราดอกเบี้ยที่มูลค่าปัจจุบันสุทธิของโครงการเป็นศูนย์:

โดยที่ IRR คืออัตราผลตอบแทน (อัตราผลตอบแทนภายใน)

ค่า IRR แสดงระดับต้นทุนสัมพัทธ์สูงสุดที่อนุญาต ซึ่งไม่ทางใดก็ทางหนึ่งสามารถเชื่อมโยงกับโครงการที่เป็นปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น หากโครงการได้รับเงินกู้เต็มจำนวน ค่า IRR จะแสดงขีดจำกัดสูงสุดของอัตราดอกเบี้ยของธนาคาร ซึ่งส่วนเกินจะทำให้โครงการไม่ทำกำไร

ในการกำหนด IRR จะใช้วิธีการคำนวณหรือการคำนวณแบบกราฟิก ในกรณีแรก กระแสเงินสดประจำปี (โดยคำนึงถึงการลงทุนที่จำเป็น) จะถูกลดที่อัตราคิดลดช่วงทดลองต่างๆ โดยเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งเปอร์เซ็นต์ สิ่งนี้จะสร้างชุดของมูลค่าปัจจุบันสุทธิที่สอดคล้องกัน ซึ่งค่าบวกที่น้อยที่สุดซึ่งจะระบุอัตราผลตอบแทนที่แน่นอนที่จะต้องนำมาพิจารณา

การใช้การคำนวณและวิธีกราฟิกทำให้อัตราผลตอบแทนถูกพล็อตตามแกนแนวตั้งในระบบพิกัดและค่าสุทธิของวันนี้จะถูกพล็อตตามแกนนอน จากนั้นจะคำนวณค่า NPV สองค่าตามอัตราผลตอบแทนสองอัตรา เส้นตรงอยู่ระหว่างจุดสองจุดนี้ จุดตัดที่มีแกนตั้งคืออัตราผลตอบแทนภายในโดยประมาณ อย่างไรก็ตาม ควรสังเกตว่าต้องตรวจสอบค่าที่ได้รับเป็นศูนย์ และหากจำเป็น ควรทำการปรับปรุง

^ 1.4 วิธีการกำหนดระยะเวลาคืนทุนส่วนลด

ระยะเวลาคืนทุนที่มีส่วนลดคือช่วงเวลาที่นักลงทุนคืนต้นทุนเริ่มต้นของเขาให้ครบถ้วน ในขณะเดียวกันก็รับประกันระดับความสามารถในการทำกำไรที่ต้องการ:

โดยที่ T คือระยะเวลาคืนทุนที่มีส่วนลด

PV คือมูลค่าปัจจุบันของการลงทุน

วิธีนี้เป็นวิธีที่ง่ายและใช้กันอย่างแพร่หลายที่สุดวิธีหนึ่ง แต่มักใช้เพื่อรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงการในกรณีที่สิ่งสำคัญคือการลงทุนจะได้รับผลตอบแทนโดยเร็วที่สุด นอกจากนี้ วิธีการนี้ยังสะดวกเมื่อวิเคราะห์โครงการที่มีความเสี่ยงสูง เนื่องจากระยะเวลาคืนทุนสั้นลง โครงการมีความเสี่ยงน้อยกว่า

^ 2. คุณสมบัติของการประยุกต์ใช้วิธีการประเมินโครงการลงทุน

วิธีการที่อธิบายไว้ข้างต้นมีความเป็นธรรมในการวิเคราะห์โครงการลงทุนอิสระ นั่นคือเกณฑ์ของวิธีการเหล่านี้เท่านั้นจะไม่ขัดแย้งกัน

เมื่อวิเคราะห์โครงการที่แข่งขันกัน สถานการณ์ที่แตกต่างกันเกิดขึ้น ความสำคัญของการพิจารณาซึ่งเกิดจากความปรารถนาที่จะเพิ่มการแข่งขันระหว่างองค์กรต่างๆ เพื่อลดต้นทุนของโครงการโดยใช้เงินสำรองภายในของบริษัท นอกจากนี้ สถานการณ์ดังกล่าวอาจเกิดขึ้นภายใต้ข้อจำกัดทางการเงินที่รุนแรง

พิจารณาโครงการสองโครงการที่แข่งขันกัน คำนวณมูลค่าปัจจุบันสุทธิของโครงการ ตลอดจนอัตราผลตอบแทนภายในโครงการ โดยมีอัตราคิดลดเท่ากับ 11%

ตารางที่ 1

โครงการ	CF ตามปี (ล้านรูเบิล)					NPV ที่ r=11%	IRR
โครงการ	0	1	2	3	4	NPV ที่ r=11%	IRR
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35,0%

ดังที่เห็นได้จากตารางที่ 1 NPV ของโครงการ X1 จะเท่ากับ 33.5 ล้านรูเบิล ซึ่งดีกว่าอย่างเห็นได้ชัดสำหรับ NPV ของโครงการ X2 - 22.4 ล้านรูเบิล อย่างไรก็ตาม หากเราเน้นที่อัตราผลตอบแทนภายใน ก็ควรให้ความสำคัญกับโครงการ X2 ที่มี IRR = 35% เทียบกับ 26.7% สำหรับโครงการ X1 ดังนั้น เกณฑ์ NPV และ IRR จึงขัดแย้งกัน แม้ว่าทั้งสองวิธีจะใช้สูตรเดียวกันก็ตาม

ปัญหาที่เกิดขึ้นจะแก้ไขได้อย่างง่ายดายหากเราพิจารณารายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับสาระสำคัญของเกณฑ์ IRR การคำนวณซึ่งให้ความเป็นไปได้ในการลงทุนรายได้ขั้นกลางของโครงการใหม่โดยให้ผลตอบแทนเท่ากับ IRR แต่เป็นจริงหรือไม่ที่จะรับประกันผลตอบแทนดังกล่าวหากผลตอบแทนจากการลงทุนใหม่น้อยกว่า IRR? เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างต่อไป จะไม่

มาคำนวณมูลค่าที่แน่นอนของรายได้ของนักลงทุน ณ สิ้นปีที่สี่ หรืออีกนัยหนึ่งคือ มูลค่าโครงการในอนาคต (มูลค่าในอนาคต) โดยมีเงื่อนไขว่าอัตราการลงทุนซ้ำคือ 11%:

FV (X1) \u003d 110 + 15 * (1 + 0.11) \u003d 126.65 ล้านรูเบิล

FV (X2) \u003d 20 + 15 * (1 + 0.11) + 15 * (1 + 0.11) 2 + 40 * (1 + 0.11) 3 \u003d 109.84 ล้านรูเบิล

ให้เรากำหนดความสามารถในการทำกำไรของการดำเนินการนี้ตามการพึ่งพาต่อไปนี้:

นักวิจัยจำนวนหนึ่งโดยคำนึงถึงข้อบกพร่องของเกณฑ์ IRR แนะนำให้ใช้เกณฑ์อื่นแทน - MIRR (ดัดแปลง IRR) MIRR คือผลตอบแทนที่คาดหวัง โดยมีเงื่อนไขว่ารายได้ขั้นกลางทั้งหมดของโครงการจะถูกนำไปลงทุนใหม่ในอัตราผลตอบแทนที่กำหนด

ตารางที่ 2

ดังที่เห็นได้จากตารางที่ 2 การใช้เกณฑ์ MIRR ขจัดความขัดแย้งระหว่างตัวบ่งชี้สัมบูรณ์และสัมพัทธ์ของผลลัพธ์ของการดำเนินโครงการ ตอนนี้คำถามถูกลบ: ควรกำหนดการตั้งค่าให้กับโครงการ X1 นอกจากนี้ ในอนาคต เมื่อเปรียบเทียบสองโครงการที่แข่งขันกัน NPV ควรถือเป็นเกณฑ์ที่ดีที่สุด

ตัวอย่างที่ให้มาขึ้นอยู่กับความขัดแย้งระหว่างเกณฑ์ NPV และ IRR ในการวิเคราะห์โครงการที่มีเงินลงทุนเท่ากัน ดังนั้นจึงจำเป็นต้องพิจารณาตัวอย่างการวิเคราะห์โครงการที่แข่งขันกันด้วยปริมาณการลงทุนที่แตกต่างกัน

ตารางที่ 3

โครงการ	CF ตามปี (ล้านรูเบิล)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
โครงการ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3	-5	4,5	2,2	2,5	2,5	4,3	54%	29,82%
X2	-50	40	15	15	20	22,4	35%	21,74%

การวิเคราะห์ข้อมูลที่นำเสนอในตารางที่ 3 แสดงให้เห็นว่าเกณฑ์ IRR และ MIRR ชี้ไปที่โปรเจ็กต์ X3 ในขณะที่เกณฑ์ NPV ซึ่งถือเป็นเกณฑ์หลักในตัวอย่างก่อนหน้านี้ จะอยู่ด้านข้างของโปรเจ็กต์ X2 อย่างชัดเจน นั่นคือ ในสถานการณ์นี้ ปัญหาของโครงการที่ไม่สมส่วนเกิดขึ้น (ปัญหาของขนาด) ดังนั้น การตัดสินใจขั้นสุดท้ายที่นี่สามารถทำได้หลังจากวิเคราะห์การฝังที่เป็นไปได้ของความแตกต่างระหว่าง Cfo (X3) และ Cfo (X2) เท่านั้น ในตัวอย่างของเรา ความแตกต่างนี้คือ 45 ล้านรูเบิล

สมมติว่าเรามีโอกาสที่จะลงทุนกองทุนเหล่านี้ในลักษณะดังต่อไปนี้:

ตารางที่ 4

โครงการ	CF ตามปี (ล้านรูเบิล)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
โครงการ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X4	-45	36	13	13	18	19,3	34%	21,38%

ตอนนี้จำเป็นต้องค้นหาว่าอะไรดีกว่า - โปรเจ็กต์ X3 และ X4 หรือโปรเจ็กต์ X2

ตารางที่ 5

โครงการ	CF ตามปี (ล้านรูเบิล)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
โครงการ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X2	-50	40	15	15	20	22,3	35%	21,74%

เมื่อพิจารณาผลลัพธ์ที่แสดงในตารางที่ 5 จะเห็นได้ชัดเจนว่านักลงทุนจะปฏิเสธโครงการ X2 เพื่อสนับสนุนการดำเนินการของทั้งสองโครงการ X3 และ X4 ในเวลาเดียวกัน ควรสังเกตว่าตัวเลือกสุดท้ายจะยังคงเป็นโครงการ X1:

ตารางที่ 6

โครงการ	CF ตามปี (ล้านรูเบิล)					NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
โครงการ	0	1	2	3	4	NPV (r=11%)	IRR	MIRR (r=11%)
X3+X4	-50	40,5	15,2	15,5	20,5	23,7	36%	22,30%
X1	-50	0	0	15	110	33,5	26,7%	26,16%

อย่างไรก็ตาม อาจมีบางสถานการณ์ที่นอกเหนือจากโครงการ X3 และ X4 แล้ว ไม่มีโครงการใดที่มี NPV เชิงบวกอีกต่อไป ในกรณีนี้ ไม่ควรเน้นที่อัตราผลตอบแทน แต่เน้นที่ NPV

ควรสังเกตว่าปัญหาเรื่องขนาดอาจเกิดขึ้นในกรณีของ NPV - PI ในกรณีนี้ วิธีการแก้ปัญหาจะคล้ายคลึงกัน

ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ดังนี้: ขอแนะนำให้วิเคราะห์โครงการลงทุนด้วยวิธีการต่างๆ ในคราวเดียว ซึ่งจะช่วยให้ได้รับข้อมูลสำคัญเพิ่มเติมเกี่ยวกับโครงการดังกล่าว

^ 3. การบัญชีอัตราเงินเฟ้อในการวิเคราะห์โครงการ

ผลกระทบของเงินเฟ้อสามารถนำมาพิจารณาโดยการปรับการรับในอนาคตหรืออัตราคิดลดสำหรับดัชนี ในกรณีนี้ ขอแนะนำให้ใช้การพึ่งพาต่อไปนี้:

โดยที่ r nom คืออัตราดอกเบี้ยที่ระบุ

R จริง - อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริง;

λ คือระดับเงินเฟ้อทั่วไป

สำหรับค่าเล็กน้อย rและ λ สูตร (7) สามารถเขียนได้ดังนี้:

R ชื่อ ≈ r eal + λ (8)

อัตราดอกเบี้ยที่กำหนดและอัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงสามารถใช้เป็นส่วนลดได้ ทางเลือกขึ้นอยู่กับวิธีการวัดกระแสเงินสดของโครงการ หากกระแสเงินสดแสดงในรูปของจริง (ที่ราคาคงที่) อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงควรใช้สำหรับการลดราคา

อย่างไรก็ตาม การใช้อัตราดอกเบี้ยที่แท้จริงและการคำนวณกระแสเงินสดในราคาคงที่จะไม่ทำให้เกิดภาวะเงินเฟ้อตามโครงสร้าง ในกรณีเช่นนี้ การคำนวณจะต้องดำเนินการในราคาปัจจุบัน:

อย่างไรก็ตาม ในกรณีหลังนี้ จำเป็นต้องมีความสามารถในการทำนายการเพิ่มขึ้นของราคา

^ 4. การบัญชีความเสี่ยงในการวิเคราะห์โครงการเดียว

การวิเคราะห์ตามความเสี่ยงของโครงการเดียวจะดำเนินการก็ต่อเมื่อโครงการลงทุนเป็นอิสระ ในกรณีนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้ตัวบ่งชี้สองตัว: ผลตอบแทนที่คาดหวังและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (RMS) ของผลตอบแทนซึ่งกำหนดการกระจายแบบปกติอย่างสมบูรณ์

ผลตอบแทนที่คาดหวังคำนวณดังนี้:

(11)

โดยที่ R ฉัน - ยอมจำนนต่อสถานการณ์ที่ i;

P i - ความน่าจะเป็นของการพัฒนาเหตุการณ์ตามตัวเลือก i-th;

N คือจำนวนตัวเลือกที่พิจารณา

ดังนั้นจึงเป็นที่ชัดเจนว่าผลตอบแทนที่คาดหวังเป็นผลตอบแทนที่มีแนวโน้มมากที่สุดสำหรับโครงการ ในขณะที่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานซึ่งวัดความแปรปรวนของผลตอบแทนที่คาดหวังนั้นเป็นตัวบ่งชี้ความเสี่ยงของโครงการ:

เมื่อเปรียบเทียบความเสี่ยงของสินทรัพย์กับผลตอบแทนที่คาดหวังต่างกัน ขอแนะนำให้ใช้ค่าสัมประสิทธิ์การแปรผัน (นั่นคือ การวัดการกระจายแบบสัมพัทธ์):

(13)

แน่นอน ยิ่ง SD และ CV สูงเท่าไหร่ ความเสี่ยงก็จะยิ่งสูงขึ้นเท่านั้น ตัวอย่างเช่น ให้พิจารณาข้อมูลตัวอย่างแบบสุ่มที่แสดงในตารางที่ 7:

ตารางที่ 7

โครงการ	R		ประวัติย่อ
X1	12,5%	3,12	0,25
x2	11,0%	3,32	0,30
X3	12,2%	2,68	0,22

ในตัวอย่างนี้ โครงการ X2 มีผลกำไรน้อยที่สุดและในขณะเดียวกันก็มีความเสี่ยงมากที่สุด ดังนั้น จึงควรถูกปฏิเสธทันที และทางเลือกเพิ่มเติมจะขึ้นอยู่กับทัศนคติของนักลงทุนต่อความเสี่ยง หากเป็นลบ โครงการ XZ จะถูกดำเนินการ หากนักลงทุนไม่ชอบความเสี่ยง XI จะเป็นที่ต้องการ

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่านักลงทุนในระดับเจ้าหน้าที่เทศบาลพยายามเลือกความเสี่ยงขั้นต่ำ ดังนั้นในกรณีของเราโครงการ KhZ จะได้รับการยอมรับสำหรับการลงทุน

^ 5. การบัญชีความเสี่ยงในการวิเคราะห์พอร์ต

โดยปกติ เพื่อลดความเสี่ยงในส่วนที่ไม่เป็นระบบ จะมีการใช้การกระจายความเสี่ยง ซึ่งขึ้นอยู่กับการสร้างพอร์ตโฟลิโอที่มีประสิทธิภาพโดยการวิเคราะห์ความสัมพันธ์ของสินทรัพย์ ในเวลาเดียวกัน ควรสังเกตว่าการลงทุนใหม่แต่ละครั้งควรพิจารณาโดยคำนึงถึงพอร์ตโฟลิโอปัจจุบันด้วย

ลองพิจารณาวิธีการคำนวณความเสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอที่ประกอบด้วย 3 โครงการ โดยใช้ข้อมูลที่แสดงในตารางที่ 7 เป็นตัวอย่าง และภายใต้เงื่อนไขว่าแต่ละโครงการจะได้รับหนึ่งในสามของจำนวนเงินที่ลงทุน

ผลตอบแทนของพอร์ตการลงทุนจะถูกกำหนดดังนี้:

(14)

โดยที่ R k คือความสามารถในการทำกำไรที่คาดหวังของโครงการที่ k

X k - ส่วนแบ่งของเงินทุนที่ลงทุนในโครงการที่ k

M - จำนวนโครงการในพอร์ต

ในตัวอย่างของเรา:

R ผลงาน = 12,5 1 / 3 + 11 1 / 3 + 12,2 1 / 3 = 11,9%.

ในตัวอย่างของเรา:

cov 12 = 7.34 และ cov 13 = – 8,12.

ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าผลตอบแทนของโครงการ X1 และ X2 เปลี่ยนไปในทิศทางเดียวกัน และผลตอบแทนของโครงการ X1 และ X3 รวมถึง X2 และ X3 ในทิศทางตรงกันข้าม อย่างไรก็ตาม เนื่องจากค่าสัมบูรณ์ของความแปรปรวนร่วมนั้นตีความได้ยาก ระดับการพึ่งพาอาศัยกันระหว่างตัวชี้วัดจึงคำนวณโดยใช้ค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์:

ที่ r = +1 ตัวบ่งชี้จะเปลี่ยนไปตามเวลาในลักษณะเดียวกันทุกประการ ที่ r = -1 มีความสัมพันธ์เชิงลบอย่างสมบูรณ์ ศูนย์ บ่งชี้ว่าไม่มีความสัมพันธ์

ในตัวอย่างนี้:

r 12 = 0.71, r 13 = -0.96 และ r 23 = -0.6

เห็นได้ชัดว่า เพื่อลดความเสี่ยง การรวมพอร์ตโฟลิโอของโครงการ X1 และ X3 จะเหมาะสมที่สุด ในขณะเดียวกันก็จำเป็นต้องคำนวณความเสี่ยงของพอร์ตโดยคำนึงถึงความสัมพันธ์ระหว่างโครงการต่างๆ:

คำนวณความเสี่ยงพอร์ตโฟลิโอ (X1, X3) ภายใต้เงื่อนไขการลงทุนในตราสารทุนที่เท่าเทียมกัน:

ดังนั้นความเสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอของเราจึงต่ำกว่าความเสี่ยงของโครงการที่เป็นส่วนประกอบอย่างมากและที่r< 0 диверсификация всегда будет приводить к подобным результатам. Однако при 0 < r < 1 также можно сократить риск, причем при определенных значениях r риск портфеля может оказаться ниже самого рискованного его актива.

วิธีการรวบรวมพอร์ตโฟลิโอของหลายโปรเจ็กต์จะเหมือนกับการรวบรวมพอร์ตโฟลิโอสองสินทรัพย์

จากชุดพอร์ตการลงทุนทั้งหมดที่ระบุโดยพื้นที่ในรูปที่ 1 จำเป็นต้องเลือกพอร์ตการลงทุนเหล่านั้นที่อยู่บนเส้น AB - เป็นพอร์ตที่ให้ความเสี่ยงขั้นต่ำพร้อมผลตอบแทนที่คาดหวังสูงสุด ในกรณีนี้ ตัวเลือกที่เฉพาะเจาะจงขึ้นอยู่กับทัศนคติของเราต่อความเสี่ยง ในทางกราฟ ทางเลือกระหว่างความเสี่ยงและผลตอบแทนจะแสดงโดยเส้นโค้งที่ไม่แยแส ซึ่งเป็นชุดที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีอยู่สำหรับแต่ละบุคคลในแง่ของความพึงพอใจของบุคคลนั้นสำหรับความเสี่ยงและผลตอบแทน

รูปที่ 1 ปัญหาในการเลือกพอร์ตการลงทุนที่เหมาะสมที่สุด

เส้นตรงจากจุดส่งกลับของสินทรัพย์ที่ปราศจากความเสี่ยงผ่านจุดสัมผัสของเส้นพอร์ตการลงทุนที่เป็นไปได้ AB เรียกว่า Capital Market Line (CML) และสะท้อนทางเลือกในระบบผลตอบแทนจากความเสี่ยง จุด C ในรูป 1 จึงสะท้อนถึงความเสี่ยงและผลตอบแทนของพอร์ตตลาด ระดับสูงสุดของยูทิลิตี้สามารถทำได้โดยนักลงทุน ณ จุดที่เส้นโค้งที่ไม่แยแสต่อความเสี่ยงและผลตอบแทนของเขาสัมผัสกับเส้นของตลาดทุน หากนักลงทุนชอบความแน่นอน จุดนี้จะอยู่ทางด้านซ้ายของพอร์ตตลาด (ทางด้านซ้ายของ C) นักลงทุนลงทุนในสินทรัพย์ที่ไม่มีความเสี่ยงและมีความเสี่ยง และผลงานของเขาจึงมีความเสี่ยงต่ำและผลตอบแทนต่ำ หากนักลงทุนไม่ชอบความเสี่ยง จุดสัมผัสจะอยู่ที่ด้านขวาของพอร์ตตลาด (ทางด้านขวาของ C) กองทุนลงทุนในสินทรัพย์เสี่ยงและพอร์ตมีความเสี่ยงและผลตอบแทนสูงกว่า

โดยหลักการแล้ว ปัญหาในการค้นหาพอร์ตโฟลิโอที่เหมาะสมที่สุดซึ่งประกอบด้วยสินทรัพย์จำนวนมากสามารถแก้ไขได้โดยขั้นตอนการคัดเลือก - เรากำลังมองหาพอร์ตโฟลิโอที่ให้ผลตอบแทนที่คาดหวังสูงสุดสำหรับระดับความเสี่ยงที่กำหนด อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ สมควรแก้ปัญหาการจัดสรรทุนโดยใช้โปรแกรมเชิงเส้นตรงรุ่นกำลังสอง

ลองกำหนดส่วนแบ่งของสินทรัพย์ที่ i ในพอร์ตตามต้นทุน:

โดยที่ CF OFt max คือขนาดสูงสุดของโปรแกรมการลงทุนในช่วงเวลา t

พิจารณาตัวบ่งชี้ความเสี่ยงโดยสรุป:

ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (20) ซึ่งช่วยลดความเสี่ยงของพอร์ตโฟลิโอสุดท้าย โดยที่ตัวแปรไบนารี X i ทำหน้าที่เป็นเกณฑ์สำหรับการมีส่วนร่วมในพอร์ตโฟลิโอ มูลค่าต่อหน่วยซึ่งบ่งชี้ถึงการเข้าสู่โปรเจ็กต์ i-th ลงในพอร์ตโฟลิโอ และค่าศูนย์หมายถึงการปฏิเสธโครงการที่ i-th มีลักษณะดังนี้:

โดยมีข้อจำกัด:

โดยที่ NPV min คือขนาดของมูลค่าปัจจุบันสุทธิขั้นต่ำที่ยอมรับได้ของพอร์ตโฟลิโอ

T n - ช่วงเริ่มต้นของโปรแกรมการลงทุน

T ถึง - ช่วงสุดท้ายของโปรแกรมการลงทุน

V k - เวกเตอร์ของโครงการที่แข่งขันกัน

V - ชุดเวกเตอร์ของโครงการที่แข่งขันกัน

N l - จำนวนโปรเจ็กต์ของพอร์ตโฟลิโอก่อนหน้า T ซึ่งเกิน T n ของพอร์ตโฟลิโอที่กำลังรวบรวม

เห็นได้ชัดว่าเมื่อคำนวณฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (20) จะใช้เฉพาะส่วนหนึ่งของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม (19) ซึ่งอยู่บนและด้านล่างเส้นทแยงมุมหลักซึ่งเกิดจากการใช้เงื่อนไขจำกัดในลูปที่ซ้อนกัน บนคอลัมน์ในขณะที่เนื่องจากมีความแปรปรวนร่วมสองประการสำหรับโครงการที่เป็นไปได้แต่ละคู่ จึงมีการแนะนำปัจจัยสองเท่าสำหรับค่าของการวนซ้ำที่ซ้อนกัน

ดังนั้น ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพคือการกำหนดว่าโครงการใดควรได้รับการยอมรับสำหรับการลงทุน เพื่อให้จำนวนรายได้ที่คาดหวังและระดับความเสี่ยงสอดคล้องกับเป้าหมายของนักลงทุนอย่างเหมาะสมที่สุด ซึ่งกำหนดโดยทิศทางของหน้าที่วัตถุประสงค์และชุดของ ข้อ จำกัด:

1. ความเสี่ยงที่วัดโดยการกระจาย (RMS) ของพอร์ตการลงทุนจะลดลง

2. รายได้จากพอร์ตโฟลิโอเท่ากับตัวบ่งชี้เสริมของมูลค่าปัจจุบันสุทธิที่คาดว่าจะได้รับของโครงการที่รับต้องไม่น้อยกว่าจำนวนที่กำหนด โดยกำหนดโดยมูลค่าที่ลดจนถึงระยะเวลาการลงทุนเริ่มแรก

3. ปริมาณการลงทุนประจำปีทั้งหมดต้องไม่เกินขีด จำกัด ของกองทุนที่มีอยู่ (จัดสรร) ที่กำหนดไว้สำหรับช่วงเวลาที่กำหนดแยกต่างหากสำหรับแต่ละปีของโปรแกรมการลงทุน

4. มีเพียงโครงการเดียวที่เป็นตัวแทนของกลุ่มโครงการที่แข่งขันกันเท่านั้นที่สามารถรวมไว้ในพอร์ตโฟลิโอได้

5. การรวบรวมพอร์ตโฟลิโอใหม่จะดำเนินการโดยคำนึงถึงการรวมที่จำเป็นในองค์ประกอบของโครงการเหล่านั้นของพอร์ตก่อนหน้า ระยะเวลาที่เสร็จสมบูรณ์ของโปรแกรมการลงทุนซึ่งเกินระยะเวลาของการเริ่มต้นโปรแกรมการลงทุนของพอร์ตใหม่ .

6. โครงการที่พิจารณาแล้วจะไม่ถูกบดขยี้

ปัญหาที่อธิบายไว้รวมถึงข้อจำกัดหลายประการในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน ซึ่งส่วนใหญ่กำหนดขอบเขตสำหรับการลงทุนในบางพื้นที่ มิฉะนั้น เป็นไปไม่ได้ที่จะรับประกันว่าผลลัพธ์ที่ได้จะอยู่ที่ชายแดนด้านประสิทธิภาพ ในการทำเช่นนั้น เราอาจลงเอยด้วยพอร์ตโฟลิโอที่เสี่ยงกว่า แต่เราจะไม่จำเป็นต้องใช้เงินทั้งหมดของเรา และ/หรือเราจะสามารถได้รับผลตอบแทนที่สูงขึ้น

การคำนวณและการออกลักษณะผลลัพธ์ของพอร์ตโฟลิโอ:

หลายโครงการที่เลือก:

มูลค่าปัจจุบันสุทธิที่คาดหวังของพอร์ตโฟลิโอ:

ผลตอบแทนพอร์ตที่คาดหวัง:

ความเสี่ยงพอร์ตโครงการ:

ประหยัดทรัพยากรทางการเงิน:

มีคำจำกัดความของแนวคิดเรื่อง "ความเสี่ยง" ที่หลากหลาย ดังนั้นเมื่อสรุปข้างต้น เราจะเข้าใจความเสี่ยงในฐานะสถานการณ์ที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้หลายประการจากการดำเนินการบางอย่าง และยังมีข้อมูลที่จำเป็นจากช่วงเวลาที่ผ่านมาที่ทำให้สามารถ คำนวณการพึ่งพาบางอย่างเพื่อคาดการณ์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในอนาคต

แบบจำลอง CAPM (แบบจำลองการกำหนดราคาสินทรัพย์ทุน) ที่ใช้กันอย่างแพร่หลายสำหรับการรวบรวมพอร์ตการลงทุน พัฒนาโดย W. Sharp มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ามันเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องพิจารณาเฉพาะความเสี่ยงอย่างเป็นระบบของสินทรัพย์แต่ละรายการ อย่างไรก็ตาม ผลงานของ G. Markowitz ได้พิสูจน์ให้เห็นถึงความสำคัญของการคำนึงถึงความเสี่ยงโดยรวมด้วย ดังนั้น การให้เหตุผลก่อนหน้านี้มีพื้นฐานอยู่บนสมมติฐานนี้อย่างแม่นยำ

ความเสี่ยงอย่างเป็นระบบเกิดจากปัจจัยต่างๆ เช่น อัตราเงินเฟ้อ วิกฤตเศรษฐกิจ ปัจจัยตลาดทั่วไปอื่นๆ

การปรากฏตัวของความเสี่ยงที่ไม่เป็นระบบนั้นสัมพันธ์กับเหตุการณ์สุ่มที่ส่งผลกระทบต่อสินทรัพย์หรือบริษัทที่เฉพาะเจาะจง

รายการบรรณานุกรม

กวี VS. ความซับซ้อนทางการเงินและการลงทุน: ทฤษฎีและการปฏิบัติในบริบทของการปฏิรูปเศรษฐกิจรัสเซีย - M: การเงินและสถิติ, 2541. - 304 น.
Bogatin Yu.V. , Shvandar V.A. วิเคราะห์การลงทุน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย การฝึกอบรมเศรษฐศาสตร์ Bogatin Yu.V. , Shvandar V.A. - M.: UNITI, 2000. - 286p.
Bogatin Yu.V. , Shvandar V.A. การประเมินประสิทธิผลของธุรกิจและการลงทุน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย, การฝึกอบรมเศรษฐศาสตร์พิเศษ .. - M: Finance, UNITY-DANA, 1999. - 256p.
Bocharov V.V. การจัดการการลงทุน: ตำราเรียน. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์กและอื่น ๆ : Peter, 2000. - 152p. - หลักสูตรระยะสั้น.
Brodsky M.N. , Brodsky G.M. กฎหมายและเศรษฐศาสตร์: การให้คำปรึกษาด้านการลงทุน มหาวิทยาลัยเศรษฐศาสตร์และการเงินแห่งรัฐเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก - SPb., 1999. - 488s.
วัครินทร์ ป. องค์กรและการจัดหาเงินทุนของการลงทุน: (รวบรวมงานจริงและสถานการณ์เฉพาะ): ตำราเรียน. - ม.: แจ้ง-ศูนย์ดำเนินการ "การตลาด", 2542. - 149p.
อิโกชิน เอ็น.วี. การลงทุน องค์กรการจัดการและการเงิน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัย, การฝึกอบรมเศรษฐศาสตร์พิเศษ .. - M: Finance, UNITI, 1999. - 414 p.
โควาเลฟ วี.วี. การวิเคราะห์ทางการเงิน การจัดการทุน การเลือกการลงทุน การวิเคราะห์การรายงาน - ฉบับที่ 2 แก้ไขและเพิ่มเติม .. - ม.: การเงินและสถิติ 1997. - 511s.
Kolemaev V.A. เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์ - ม.: การเงินและสถิติ, 2546. - 206p.
Krushvits L. การเงินและการลงทุน รากฐานนีโอคลาสสิกของทฤษฎีการเงิน: ตำราเรียนสำหรับมหาวิทยาลัย: แปลจากภาษาเยอรมัน .. - เซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก และอื่น ๆ : Peter, 2000. - 381s. - หลักสูตรพื้นฐาน
Limitovsky M.A. พื้นฐานของการประเมินการลงทุนและการตัดสินใจทางการเงิน - 3rd ed., เพิ่มเติมและแก้ไข .. - M.: DeKA, 1998. - 231s.
การประเมินประสิทธิผลของการลงทุนขององค์กร: Method.recommendations สำหรับการเขียน org.-econ ส่วนหนึ่งของโครงการประกาศนียบัตรโดยนักศึกษาเทคโนโลยี ผู้เชี่ยวชาญ.; มหาวิทยาลัยเทคนิคแห่งรัฐ ภาควิชาเศรษฐศาสตร์และการจัดการ อำนวยการสร้างโดย V.A. Nikolskaya, A.G. Bokicheva - ตเวียร์ 2000. - 12 วินาที.
Salmanov O.N. เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์โดยใช้ Mathcad และ Excel BHV-ปีเตอร์สเบิร์ก 2546 - 464 หน้า
Sergeev I.V. , Veretennikova I.I. องค์กรและการจัดหาเงินทุนของการลงทุน: หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษามหาวิทยาลัยที่กำลังศึกษาด้านเศรษฐศาสตร์และสาขาพิเศษ Sergeev I.V. , Veretennikova I.I. - M .: การเงินและสถิติ, 2000. - 271s
โฮลท์ อาร์.เอ็น., บาร์นส์ เอส.บี. การวางแผนการลงทุน: [บทช่วยสอน]: แปลจากภาษาอังกฤษ
Chetyrkin E.M. การวิเคราะห์ทางการเงินของการลงทุนภาคอุตสาหกรรม นักวิชาการเศรษฐกิจแห่งชาติภายใต้รัฐบาลสหพันธรัฐรัสเซีย - อ.: เดโล่, 2541. - 255p.
ชาร์ป ดับเบิลยู, อเล็กซานเดอร์ จี.ดี. การลงทุน: แปลจากภาษาอังกฤษ; จัดทำขึ้นด้วยความช่วยเหลือทางการเงินของกองทุนแห่งชาติเพื่อการฝึกอบรมบุคลากรด้านการเงินและการบริหารภายใต้กรอบของโครงการธุรกิจการธนาคาร - ม.: INFRA-M, 1997. - 1024 น.

ซอฟต์แวร์และข้อมูลสนับสนุน

Microsoft Office 2000: ไมโครซอฟต์เอ็กเซล
โมนาคอฟ A.V. วิธีทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์ // www. ร้านของฉัน. รุ
Kolemaev V.A. เศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์. หนังสือเรียน. // www. ฮูกาฮูก้า. รุ